Dacă vedeți expresiile 32 și 53, s-ar putea să anunțați cu o înflorire că acestea înseamnă „trei pătrate” și „cinci în cuburi” și că puteți căuta numere echivalente fără exponenți, numerele reprezentate de indicele superioare în dreapta sus deasupra. Aceste numere în acest caz sunt 9 și 125.
Dar dacă, în loc de, să spunem, o funcție exponențială simplă, cum ar fi y = x 3, în schimb, trebuie să rezolvați o ecuație ca y = 3X. Aici x, variabila dependentă, apare ca exponent. Există vreo modalitate de a trage acea variabilă în jos de pe bibanul ei pentru a o trata mai ușor matematic?
De fapt, există și răspunsul constă în complementul natural al exponenților, care sunt cantități distractive și utile cunoscute sub numele de logaritmi.
Ce sunt exponenții?
Un exponent, numit și a putere, este un mod comprimat de exprimare a multiplicărilor repetate ale unui număr de la sine. 45 = 4 × 4 × 4 × 4 × 4 = 1,024.
- Orice număr ridicat la puterea lui 1 păstrează aceeași valoare; orice număr cu un exponent de 0 este egal cu 1. De exemplu, 721 = 72; 720 = 1.
Exponenții pot fi negativi, producând relația X−n= 1 / (xn). Ele pot fi, de asemenea, exprimate ca fracții, de exemplu, 2(5/3). Dacă sunt exprimate ca fracții, atât numărătorul, cât și numitorul trebuie să fie numere întregi.
Ce sunt logaritmii?
Logaritmii sau „jurnalele” pot fi privite ca exponenți exprimați ca altceva decât o putere. Probabil că asta nu ajută prea mult, așa că poate un exemplu sau două o vor face.
În expresie 103 = 1,000, numărul 10 este baza, și este ridicat la a treia putere (sau puterea de Trei). Puteți exprima acest lucru ca „baza a 10 ridicată la a treia putere este egală cu 1.000”.
Un exemplu de logaritm este Buturuga10(1,000) = 3. Rețineți că numerele și relațiile lor între ele sunt aceleași ca în exemplul anterior, dar au fost mutate. În cuvinte, acest lucru înseamnă „baza logaritmică 10 din 1.000 este egală cu 3.”
Cantitatea din dreapta este puterea la care trebuie crescută baza de 10 pentru a egala valoarea argument, sau introducerea jurnalului, valoarea dintre paranteze (în acest caz 1.000). Această valoare trebuie să fie pozitivă, deoarece baza - care poate fi un alt număr decât 10, dar se presupune că este 10 atunci când este omis, de exemplu, „log 4” - este, de asemenea, întotdeauna pozitivă.
Reguli utile de logaritm
Deci, cum puteți lucra cu ușurință între jurnale și exponenți? Câteva reguli despre comportamentul jurnalelor vă pot ajuta să începeți problemele cu exponenții.
log_ {b} (xy) = log_ {b} {x} + log_ {b} y log_ {b} (\ dfrac {x} {y}) = log_ {b} {x} \ text {-} log_ { b} y log_ {b} (x ^ A) = A⋅log_ {b} (x) log_ {b} (\ dfrac {1} {y}) = −log_ {b} (y)
Rezolvarea pentru o componentă
Cu informațiile de mai sus, sunteți gata să încercați să rezolvați un exponent într-o ecuație.
Exemplu: Dacă 50 = 4X, ce este x?
Dacă duceți jurnalul la baza 10 a fiecărei părți și omiteți identificarea explicită a bazei, acesta devine jurnal 50 = jurnal 4X. Din caseta de mai sus, știți că jurnalul 4X = x log 4. Acest lucru te lasă cu
log 50 = x log 4 sau x = (log 50) / (log 4).
Folosind calculatorul sau dispozitivul electronic la alegere, constatați că soluția este (1.689 / 0.602) = 2.82.
Rezolvarea ecuațiilor exponențiale cu e
Aceleași reguli se aplică atunci când baza este e, asa numitul logaritm natural, care are o valoare de aproximativ 2,7183. Ar trebui să aveți un buton pentru acest lucru și pe calculatorul dvs. Această valoare primește și propria sa notație: logex este scris pur și simplu „ln x”.
- Funcția y = eX i, cu e nu o variabilă, ci o constantă cu această valoare, este singura funcție cu o pantă egală cu propria înălțime pentru toate x și y.
- La fel ca jurnalul1010X = x, ln eX = x pentru toate x.
Exemplu: Rezolvați ecuația 16 = e2,7x.
Ca mai sus, ln 16 = ln e2,7x = 2,7x.
ln 16 = 2,77 = 2,7x, deci x = 2/77 / 2,7 = 1.03.