Rădăcinile pătrate se găsesc adesea în probleme de matematică și știință și orice student trebuie să preia elementele de bază ale rădăcinilor pătrate pentru a aborda aceste întrebări. Rădăcinile pătrate întreabă „ce număr, atunci când este înmulțit cu el însuși, dă următorul rezultat” și, ca atare, elaborarea acestora necesită să vă gândiți la numere într-un mod ușor diferit. Cu toate acestea, puteți înțelege cu ușurință regulile rădăcinilor pătrate și puteți răspunde la orice întrebări care le implică, indiferent dacă necesită calcul direct sau doar simplificare.
TL; DR (Prea lung; Nu am citit)
O rădăcină pătrată vă întreabă ce număr, atunci când este înmulțit cu el însuși, dă rezultatul după simbolul √. Deci √9 = 3 și √16 = 4. Fiecare rădăcină are în mod tehnic un răspuns pozitiv și unul negativ, dar în majoritatea cazurilor răspunsul pozitiv este cel care vă va interesa.
Puteți factoriza rădăcinile pătrate la fel ca numerele obișnuite, deci √ab = √A √bsau √6 = √2√3.
Ce este o rădăcină pătrată?
Rădăcinile pătrate sunt opusul „pătratului” unui număr sau al înmulțirii sale de la sine. De exemplu, trei pătrate sunt nouă (32 = 9), deci rădăcina pătrată a nouă este de trei. În simboluri, acesta este
\ sqrt {9} = 3
Simbolul „√” vă spune să luați rădăcina pătrată a unui număr și puteți găsi acest lucru pe majoritatea calculatoarelor.
Amintiți-vă că fiecare număr are de faptDouărădăcini pătrate. Trei înmulțiți cu trei sunt egali cu nouă, dar negativi trei înmulțiți cu trei negativi sunt de asemenea egali cu nouă, deci
3 ^ 2 = (-3) ^ 2 = 9 \ text {și} \ sqrt {9} = ± 3
cu ± în picioare pentru „plus sau minus”. În multe cazuri, puteți ignora rădăcinile pătrate negative ale numerelor, dar uneori este important să ne amintim că fiecare număr are două rădăcini.
Vi se poate cere să luați „rădăcina cubică” sau „a patra rădăcină” a unui număr. Rădăcina cubului este numărul care, atunci când este înmulțit de două ori, este egal cu numărul original. A patra rădăcină este numărul care atunci când este înmulțit de trei ori este egal cu numărul inițial. La fel ca rădăcinile pătrate, acestea sunt exact opusul luării puterii numerelor. Deci, 33 = 27, iar asta înseamnă că rădăcina cubică a lui 27 este 3 sau
\ sqrt [3] {27} = 3
Simbolul „∛” reprezintă rădăcina cubică a numărului care vine după el. Rădăcinile sunt uneori exprimate și ca puteri fracționare, deci
\ sqrt {x} = x ^ {1/2} \ text {și} \ sqrt [3] {x} = x ^ {1/3}
Simplificarea rădăcinilor pătrate
Una dintre cele mai provocatoare sarcini pe care trebuie să le îndepliniți cu rădăcinile pătrate este simplificarea rădăcinilor pătrate mari, dar trebuie doar să urmați câteva reguli simple pentru a aborda aceste întrebări. Puteți factoriza rădăcinile pătrate în același mod în care factorizați numerele obișnuite. Deci, de exemplu 6 = 2 × 3, deci
\ sqrt {6} = \ sqrt {2} × \ sqrt {3}
Simplificarea rădăcinilor mai mari înseamnă luarea factorizării pas cu pas și amintirea definiției unei rădăcini pătrate. De exemplu, √132 este o rădăcină mare și ar putea fi greu de văzut ce să facem. Cu toate acestea, puteți vedea cu ușurință că este divizibil cu 2, astfel încât să puteți scrie
\ sqrt {132} = \ sqrt {2} \ sqrt {66}
Cu toate acestea, 66 este, de asemenea, divizibil cu 2, astfel încât să puteți scrie:
\ sqrt {2} \ sqrt {66} = \ sqrt {2} \ sqrt {2} \ sqrt {33}
În acest caz, o rădăcină pătrată a unui număr înmulțită cu o altă rădăcină pătrată dă doar numărul original (datorită definiției rădăcinii pătrate), deci
\ sqrt {132} = \ sqrt {2} \ sqrt {2} \ sqrt {33} = 2 \ sqrt {33}
Pe scurt, puteți simplifica rădăcinile pătrate folosind următoarele reguli
\ sqrt {a × b} = \ sqrt {a} × \ sqrt {b} \\ \ sqrt {a} × \ sqrt {a} = a
Care este rădăcina pătrată a ...
Folosind definițiile și regulile de mai sus, puteți găsi rădăcinile pătrate ale majorității numerelor. Iată câteva exemple de luat în considerare.
Rădăcina pătrată a 8
Acest lucru nu poate fi găsit direct, deoarece nu este rădăcina pătrată a unui număr întreg. Cu toate acestea, utilizarea regulilor pentru simplificare oferă:
\ sqrt {8} = \ sqrt {2} \ sqrt {4} = 2 \ sqrt {2}
Rădăcina pătrată a 4
Aceasta folosește rădăcina pătrată simplă a 4, care este √4 = 2. Problema poate fi rezolvată exact folosind un calculator, iar √8 = 2.8284 ...
Rădăcina pătrată a 12
Folosind aceeași abordare, încercați să calculați rădăcina pătrată a 12. Împarte rădăcina în factori și apoi vezi dacă o poți împărți din nou în factori. Încercați acest lucru ca o problemă practică, apoi uitați-vă la soluția de mai jos:
\ sqrt {12} = \ sqrt {2} \ sqrt {6} = \ sqrt {2} \ sqrt {2} \ sqrt {3} = 2 \ sqrt {3}
Din nou, această expresie simplificată poate fi utilizată fie în probleme la nevoie, fie calculată exact folosind un calculator. Un calculator arată asta
\ sqrt {12} = 2 \ sqrt {3} = 3.4641….
Rădăcina pătrată a 20
Rădăcina pătrată a 20 poate fi găsită în același mod:
\ sqrt {20} = \ sqrt {2} \ sqrt {10} = \ sqrt {2} \ sqrt {2} \ sqrt {5} = 2 \ sqrt {5} = 4.4721 ...
Rădăcina pătrată a 32
În cele din urmă, abordați rădăcina pătrată a 32 folosind aceeași abordare:
\ sqrt {32} = \ sqrt {4} \ sqrt {8}
Aici, rețineți că am calculat deja rădăcina pătrată a lui 8 ca 2√2 și că √4 = 2, deci:
\ sqrt {32} = 2 × 2 \ sqrt {2} = 4 \ sqrt {2} = 5.657 ...
Rădăcina pătrată a unui număr negativ
Deși definiția unei rădăcini pătrate înseamnă că numerele negative nu ar trebui să aibă rădăcină pătrată (deoarece orice număr s-a înmulțit ca rezultat în sine oferă un număr pozitiv), matematicienii le-au întâlnit ca parte a problemelor din algebră și au conceput un soluţie. Numărul „imaginar”eueste folosit pentru a însemna „rădăcina pătrată a minus 1” și orice alte rădăcini negative sunt exprimate ca multipli aieu. Asa de
\ sqrt {-9} = \ sqrt {9} × i = ± 3i
Aceste probleme sunt mai provocatoare, dar puteți învăța să le rezolvați pe baza definițieieuși regulile standard pentru rădăcini.
Exemple de întrebări și răspunsuri
Testați-vă înțelegerea rădăcinilor pătrate simplificând după cum este necesar și apoi calculând următoarele rădăcini:
\ sqrt {50} \\ \ sqrt {36} \\ \ sqrt {70} \\ \ sqrt {24} \\ \ sqrt {27}
Încercați să le rezolvați înainte de a privi răspunsurile de mai jos:
\ sqrt {50} = \ sqrt {2} \ sqrt {25} = 5 \ sqrt {2} = 7.071 \\ \ sqrt {36} = 6 \\ \ sqrt {70} = \ sqrt {7} \ sqrt { 10} = \ sqrt {7} \ sqrt {2} \ sqrt {5} = 8.637 \\ \ sqrt {24} = \ sqrt {2} \ sqrt {12} = \ sqrt {2} \ sqrt {2} \ sqrt {6} = 2 \ sqrt {6} = 4.899 \\ \ sqrt {27 } = \ sqrt {3} \ sqrt {9} = 3 \ sqrt {3} = 5.196