În matematică, un contraexemplu este folosit pentru a respinge o afirmație. Dacă doriți să demonstrați că o afirmație este adevărată, trebuie să scrieți o dovadă pentru a demonstra că este întotdeauna adevărată; a da un exemplu nu este suficient. Comparativ cu scrierea unei dovezi, scrierea unui contraexemplu este mult mai simplă; dacă doriți să arătați că o afirmație nu este adevărată, trebuie doar să furnizați un exemplu de scenariu în care afirmația este falsă. Majoritatea contraexemplelor din algebră implică manipulări numerice.
Două clase de matematică
Scrierea probelor și găsirea contraexemplelor sunt două dintre clasele primare de matematică. Majoritatea matematicienilor se concentrează pe scrierea de dovezi pentru a dezvolta noi teoreme și proprietăți. Când afirmațiile sau conjecturile nu pot fi dovedite adevărate, matematicienii le resping dând contraexemple.
Contraexemplele sunt concrete
În loc să utilizați variabile și notații abstracte, puteți utiliza exemple numerice pentru a respinge un argument. În algebră, majoritatea contraexemplelor implică manipularea folosind diferite numere pozitive și negative sau impare și pare, cazuri extreme și numere speciale precum 0 și 1.
Un contraexemplu este suficient
Filosofia contraexemplului este că, dacă într-un scenariu afirmația nu este adevărată, atunci afirmația este falsă. Un exemplu non-matematic este „Tom nu a spus niciodată minciună”. Pentru a arăta că această afirmație este adevărată, trebuie să furnizați „dovada” că Tom nu a spus niciodată minciună urmărind fiecare afirmație făcută de Tom vreodată. Cu toate acestea, pentru a respinge această afirmație, trebuie doar să arăți o singură minciună despre care a vorbit vreodată Tom.
Contraexemple celebre
"Toate numerele prime sunt impare." Deși aproape toate numerele prime, inclusiv toate primele peste 3, sunt impare, „2” este un număr prim care este par; această afirmație este falsă; „2” este contraexemplul relevant.
„Scăderea este comutativă”. Atât adunarea, cât și multiplicarea sunt comutative - pot fi efectuate în orice ordine. Adică, pentru orice numere reale a și b, a + b = b + a și a * b = b * a. Cu toate acestea, scăderea nu este comutativă; un contraexemplu care demonstrează acest lucru este: 3 - 5 nu este egal cu 5 - 3.
„Fiecare funcție continuă este diferențiată”. Funcția absolută | x | este continuu pentru toate numerele pozitive și negative; dar nu este diferențiat la x = 0; din moment ce | x | este o funcție continuă, acest contraexemplu demonstrează că nu orice funcție continuă este diferențiată.