Cum se găsește dy / dx prin diferențiere implicită având în vedere o ecuație similară ca y = sin (xy)

Diferențierea implicită este o tehnică utilizată pentru a determina derivata unei funcții sub forma y = f (x).

Pentru a învăța cum să folosim diferențierea implicită, putem folosi metoda pe un exemplu simplu și apoi să explorăm câteva cazuri mai complexe.

Deși sună mai complicat, diferențierea implicită folosește aceeași matematică și abilități ca diferențiere de bază. Totuși, este important să observăm că variabila noastră dependentă apare acum în funcția însăși.

Luați o ecuație simplă, cum ar fi xy = 1. Există două moduri de a găsi derivatul lui y cu privire la Xsau dy / dx. În primul rând, putem rezolva pur și simplu pentru y în ecuație și folosiți regula puterii pentru derivate. Dacă faceți acest lucru, veți obține: y = 1 / x. Prin urmare, aplicarea regulii puterii ar arăta că dy / dx = -1 / x².

Putem face această problemă și folosind diferențierea implicită. Din fericire, știm deja răspunsul (ar trebui să fie același indiferent de modul în care îl calculăm), astfel încât să ne putem verifica munca!

Pentru început, aplicați derivata pe ambele părți ale ecuației xy = 1. Apoi, d / dx (xy) = d / dx (1); în mod clar partea dreaptă este acum egală cu 0, dar partea stângă necesită regula lanțului. Acest lucru se datorează faptului că luăm derivata funcției noastre, y, în timp ce se înmulțește cu un alt factor de X. Pentru a calcula acest lucru: d / dx (x) y + x (d / dx (y)) = y + xy '. Vom folosi notația primă pentru a indica o derivată față de X.

Rescrierea ecuației noastre produce: y + xy '= 0. E timpul să rezolvăm tu în ecuația noastră! În mod clar, y '= -y / x. Dar folosind informațiile originale, știm că y = 1 / x, deci putem înlocui acest lucru înapoi. Odată ce facem acest lucru, vedem că y '= -1 / x², la fel cum am găsit înainte.

Pentru a determina derivata lui y = sin (xy), vom folosi diferențierea implicită amintind că (d / dx) y = y '.

În primul rând, aplicați derivata pe ambele părți ale ecuației: d / dx (y) = d / dx (sin (xy)). Partea stângă a ecuației este clar tu, pentru care va trebui să rezolvăm, dar partea dreaptă va necesita ceva muncă; în mod specific, regula lanțului și regula produsului. În primul rând, regula lanțului trebuie aplicată păcatului (xy) și apoi regula produsului pentru argument X y. Din fericire, am calculat deja această regulă de produs.

Apoi, simplificarea acestui lucru dă: y '= cos (xy) (y + xy').

În mod clar, această ecuație trebuie rezolvată tu pentru a determina cum tu Seamana cu X și y.

Izolați toți termenii cu tu pe o parte: y '- xy'cos (xy) = ycos (xy).

Apoi descifrați tu pentru a obține: y '(1 - xcos (xy)) = ycos (xy).

Acum vedem că y '= ycos (xy) / (1-xcos (xy)).

O simplificare suplimentară este necesară, dar pentru că funcția noastră este definită recursiv, conectarea y = sin (xy) probabil nu va produce o soluție satisfăcătoare. În acest caz, pot fi utile mai multe informații sau o metodă mai sofisticată pentru trasarea acestor ecuații.

În primul rând, amintiți-vă că diferențierea implicită se bazează pe faptul că una dintre variabile este o funcție a celeilalte. În mod obișnuit, vedem funcții ca y = f (x), dar s-ar putea scrie o funcție x = f (y). Aveți grijă când abordați aceste probleme pentru a determina care variabilă este dependentă de cealaltă.

Apoi, nu uitați să aplicați cu atenție regulile derivate. Diferențierea implicită va necesita regula lantului foarte des, precum și regula produsului și regula coeficientului. Aplicarea corectă a acestor metode va fi esențială pentru a determina răspunsul final.

În cele din urmă, rezolvați derivata dorită izolând-o și simplificând expresiile cât mai mult posibil.