Movimento do projétilrefere-se ao movimento de uma partícula que recebe uma velocidade inicial, mas é subsequentemente submetida a nenhuma força além da gravidade.
Isso inclui problemas em que uma partícula é lançada em um ângulo entre 0 e 90 graus em relação à horizontal, sendo que a horizontal geralmente é o solo. Por conveniência, presume-se que esses projéteis viajem no (x, y) avião, comxrepresentando o deslocamento horizontal eydeslocamento vertical.
O caminho percorrido por um projétil é referido como seutrajetória. (Observe que o elo comum em "projétil" e "trajetória" é a sílaba "-jeto", a palavra latina para "jogar". Ejetar alguém é literalmente jogá-lo para fora.) O ponto de origem do projétil em problemas em que você precisa calcular a trajetória é geralmente assumido como sendo (0, 0) para simplificar, a menos que o contrário declarado.
A trajetória de um projétil é uma parábola (ou pelo menos traça uma parte de uma parábola) se a partícula for lançada de tal forma que tenha um componente de movimento horizontal diferente de zero, e não haja resistência do ar para afetar o partícula.
As Equações Cinemáticas
As variáveis de interesse no movimento de uma partícula são suas coordenadas de posiçãoxey, sua velocidadev, e sua aceleraçãouma, tudo em relação a um determinado tempo decorridotdesde o início do problema (quando a partícula é lançada ou liberada). Observe que a omissão da massa (m) implica que a gravidade na Terra atua independentemente desta quantidade.
Observe também que essas equações ignoram o papel da resistência do ar, que cria uma força de arrasto opondo-se ao movimento em situações reais da Terra. Este fator é introduzido nos cursos de mecânica de nível superior.
Variáveis com um subscrito "0" referem-se ao valor dessa quantidade no momentot= 0 e são constantes; frequentemente, esse valor é 0 graças ao sistema de coordenadas escolhido e a equação se torna muito mais simples. A aceleração é tratada como constante nestes problemas (e está na direção y e igual a -g,ou–9,8 m / s2, a aceleração devida à gravidade perto da superfície da Terra).
Movimento horizontal:
x = x_0 + v_xt
- O termo
vxé a velocidade x constante.
Movimento vertical:
y = y_0 + ((v_ {0y} + v_y) / 2) t \\ v_y = v_ {0y} -gt \\ y = y_0 + v_ {0y} t- (1/2) gt ^ 2 \\ v_y ^ 2 = v_ {0y} ^ 2-2g (y-y_0)
Exemplos de movimento de projétil
A chave para ser capaz de resolver problemas que incluem cálculos de trajetória é saber que os componentes horizontal (x) e vertical (y) de movimento pode ser analisado separadamente, como mostrado acima, e suas respectivas contribuições para o movimento geral perfeitamente somadas no final do problema.
Problemas de movimento de projéteis contam como problemas de queda livre porque, não importa como as coisas pareçam depois do tempot= 0, a única força atuando no objeto em movimento é a gravidade.
- Esteja ciente de que, como a gravidade atua para baixo, e esta é considerada a direção y negativa, o valor da aceleração é -g nessas equações e problemas.
Cálculos de Trajetória
1. Os arremessadores mais rápidos no beisebol podem lançar uma bola a pouco mais de 100 milhas por hora, ou 45 m / s. Se uma bola for lançada verticalmente para cima nessa velocidade, quão alto ela chegará e quanto tempo levará para retornar ao ponto em que foi lançada?
Aquivy0= 45 m / s, -g= –9,8 m / s, e as quantidades de interesse são a altura final, ouy,e o tempo total de volta à Terra. O tempo total é um cálculo de duas partes: tempo até y e tempo de volta até y0 = 0. Para a primeira parte do problema,vy,quando a bola atinge sua altura máxima, é 0.
Comece usando a equaçãovy2= v0a2 - 2g (y - y0)e conectando os valores que você tem:
0 = (45) ^ 2 - (2) (9,8) (y - 0) = 2.025 - 19,6y \ implica y = 103,3 \ texto {m}
A equaçãovy = v0a - gtmostra que o tempo t que leva é (45 / 9,8) = 4,6 segundos. Para obter o tempo total, some este valor ao tempo que leva para a bola cair livremente até seu ponto inicial. Isso é dado pory = y0 + v0at - (1/2) gt2, onde agora, porque a bola está parada no instante antes de começar a despencar,v0a = 0.
Resolvendo:
103,3 = (1/2) gt ^ 2 \ implica t = 4,59 \ text {s}
Assim, o tempo total é 4,59 + 4,59 = 9,18 segundos. O resultado talvez surpreendente de que cada "perna" da viagem, para cima e para baixo, levou o mesmo tempo, ressalta o fato de que a gravidade é a única força em jogo aqui.
2. A equação de alcance:Quando um projétil é lançado em uma velocidadev0e um ângulo θ da horizontal, tem componentes iniciais horizontais e verticais de velocidadev0x = v0(cos θ) ev0a = v0(sen θ).
Porquevy = v0a - gt, evy = 0 quando o projétil atinge sua altura máxima, o tempo para a altura máxima é dado por t =v0a/g. Por causa da simetria, o tempo que levará para retornar ao solo (ou y = y0) é simplesmente 2t = 2v0a/g.
Finalmente, combinando-os com a relação x =v0xt, a distância horizontal percorrida dado um ângulo de lançamento θ é
R = 2 \ frac {v_0 ^ 2 \ sin {\ theta} \ cos {\ theta}} {g} = \ frac {v_0 ^ 2 \ sin {2 \ theta}} {g}
(A etapa final vem da identidade trigonométrica 2 sinθ ⋅ cosθ = sin 2θ.)
Uma vez que sin2θ está em seu valor máximo de 1 quando θ = 45 graus, usar este ângulo maximiza a distância horizontal para uma dada velocidade em
R = \ frac {v_0 ^ 2} {g}