As funções matemáticas são ferramentas poderosas para negócios, engenharia e ciências porque podem atuar como modelos em miniatura de fenômenos do mundo real. Para entender funções e relações, você precisa se aprofundar um pouco em conceitos como conjuntos, pares ordenados e relações. Uma função é um tipo especial de relação que tem apenas umyvalor para um dadoxvalor. Existem outros tipos de relações que se parecem com funções, mas não atendem à definição estrita de uma.
TL; DR (muito longo; Não li)
Uma relação é um conjunto de números organizados em pares. Uma função é um tipo especial de relação que tem apenas umyvalor para um dadoxvalor.
Conjuntos, pares ordenados e relações
Para descrever relações e funções, ajuda primeiro a discutir conjuntos e pares ordenados. Resumidamente, um conjunto de números é uma coleção deles, normalmente contidos entre chaves, como {15,1, 2/3} ou {0, .22}. Normalmente, você define um conjunto com uma regra, como todos os números pares entre 2 e 10, inclusive: {2,4,6,8,10}.
Um conjunto pode ter qualquer número de elementos ou nenhum, ou seja, o conjunto nulo {}. Um par ordenado é um grupo de dois números entre parênteses, como (0,1) e (45, −2). Por conveniência, você pode chamar o primeiro valor em um par ordenado dexvalor, e o segundo oyvalor. Uma relação organiza pares ordenados em um conjunto. Por exemplo, o conjunto {(1,0), (1,5), (2,10), (2,15)} é uma relação. Você pode traçar oxeyvalores de uma relação em um gráfico usando oxeymachados.
Relações e Funções
Uma função é uma relação em que qualquer dadoxvalor tem apenas um correspondenteyvalor. Você pode pensar que, com pares ordenados, cadaxtem apenas umyvalor de qualquer maneira. No entanto, no exemplo de uma relação dada acima, observe que oxos valores 1 e 2 cada um tem dois correspondentesyvalores, 0 e 5 e 10 e 15, respectivamente. Essa relação não é uma função. A regra dá à relação de função uma definitividade que de outra forma não existe, em termos dexvalores. Você pode perguntar quandoxé 1, qual é oyvalor? Para a relação acima, a questão não tem uma resposta definitiva; pode ser 0, 5 ou ambos.
Agora examine um exemplo de relação que é uma função verdadeira: {(0,1), (1,5), (2, 4), (3, 6)}. Oxos valores não são repetidos em lugar nenhum. Como outro exemplo, veja {(−1,0), (0,5), (1,5), (2,10), (3,10)}. Algumyos valores são repetidos, mas isso não viola a regra. Você ainda pode dizer isso quando o valor dexé 0,yé definitivamente 5.
Funções Gráficas: Teste de Linha Vertical
Você pode dizer se uma relação é uma função traçando os números em um gráfico e aplicando o teste de linha vertical. Se nenhuma linha vertical que passa pelo gráfico o cruza em mais de um ponto, a relação é uma função.
Funções como equações
Escrever um conjunto de pares ordenados como uma função é um exemplo fácil, mas rapidamente se torna tedioso quando você tem mais do que alguns números. Para resolver este problema, os matemáticos escrevem funções em termos de equações, como
y = x ^ 2 - 2x + 3
Usando esta equação compacta, você pode gerar quantos pares ordenados quiser: Insira valores diferentes parax, faça as contas, e sairá seuyvalores.
Usos de funções no mundo real
Muitas funções servem como modelos matemáticos, permitindo que as pessoas apreendam detalhes de fenômenos que, de outra forma, permaneceriam misteriosos. Para dar um exemplo simples, a equação da distância para um objeto em queda é
d = \ frac {1} {2} g t ^ 2
Ondeté o tempo em segundos, egé a aceleração da gravidade. Conecte 9,8 para a gravidade terrestre em metros por segundo ao quadrado, e você pode encontrar a distância que um objeto caiu em qualquer valor de tempo. Observe que, por toda a sua utilidade, os modelos têm limitações. A equação de exemplo funciona bem para deixar cair uma bola de aço, mas não uma pena, porque o ar diminui a velocidade da pena.