Como resolver desigualdades lineares

Digamos que você tenha que fazer compras no mercado e está com o orçamento apertado. Você quer comprar macarrão e pão para um grupo grande, mas não pode gastar mais do que vinte dólares. Em teoria, você poderia comprar apenas pão e sem macarrão, ou muito pão e apenas uma caixa de macarrão. Quantas combinações diferentes de caixas de macarrão e pães você poderia comprar? E como você pode obter o máximo de cada um com seu dinheiro?

Problemas como esses são chamadosdesigualdades lineares: equações cujo gráfico é uma linha, mas em vez de usar o sinal de igual, eles usam símbolos de desigualdade como> ou <.>

TL; DR (muito longo; Não li)

Para resolver uma desigualdade linear, você deve encontrar todas as combinações dexeyque tornam a desigualdade verdadeira. Você pode resolver desigualdades lineares usando álgebra ou gráficos.

​Para​ ​resolver uma desigualdade linear(ou qualquer equação), você tem que encontrar todas as combinações dexeyque tornam essa equação verdadeira.

Você pode resolver desigualdades lineares algebricamente ou pode representar as soluções em um gráfico (ou ambos!). Vamos examinar alguns exemplos de problemas juntos.

Este processo équaseo mesmo que resolver uma equação linear, mas com uma exceção importante. Dê uma olhada no problema abaixo.

Primeiro, pegue todos osx-es no mesmo lado do sinal "maior que". Adicionarxpara ambos os lados para cancelar oxno lado direito e só temxà esquerda.

Agora adicione seis em ambos os lados:

Até agora, isso tem sido exatamente como qualquer equação linear. Mas agora as coisas estão prestes a mudar!Quando você divide os dois lados de uma inequação por um número negativo, você deve mudar a direção do símbolo de desigualdade​.

Então, para -3x> 18, vamos dividir ambos os lados por -3, e então vamos virar o sinal> para um sinal <.>

Que tal fazer um gráfico? Mais uma vez, o processo é muito semelhante às equações lineares, mas há uma diferença importante. Já que você tem que indicartudodas combinações dexeyque tornam uma desigualdade verdadeira, você vai representar graficamente a linha como de costume e, em seguida, sombreie a seção do gráfico que fornece o resto das soluções possíveis.

Por exemplo, como você representaria graficamente a desigualdadey​ < 3​x​ + 6?

Primeiro, você notaria que a desigualdade está emforma de declive-interceptação, o que significa que podemos usar oy-intercept e a inclinação para representar graficamente a linha.

Oy-intercepto é 6, então desenhe um ponto em (0, 6), então use o fato de que a inclinação é 3 para subir três unidades e uma unidade para a direita, então desenhe um ponto. Seu ponto deve ser em (1, 9). Para fazer uma linha limpa e bonita, é bom obter três pontos, então desenhe mais um ponto começando em (1, 9) e subindo três, mais um novamente. Você obterá um ponto em (2, 12). Agora desenhe uma linha conectando os pontos.

Excelente! Você acabou de representar graficamente a igualdadey​ = 3​x+ 6, mas lembre-se que a equação original éy​ < 3​x+ 6. Use este truque simples para sombrear a parte correta do gráfico:quando a desigualdade está na forma de declive-interceptação, se você tiveryy> e, em seguida, sombreie tudo acima da linha.​

Mas verifique novamente para ter certeza! Quando você sombreia uma seção inteira do gráfico, significa que qualquer um desses pontos deve tornar a equação verdadeira. Pegue um ponto aleatório que você sombreado e conectexeyna desigualdade original. Se funcionar, você está pronto para ir. Se não, você precisa verificar novamente seus gráficos e / ou álgebra.

Uma última coisa:quando você tem> ou ​ ≤, ​a linha deve ser sólida.Isso mostra se os pontos na própria linha estão ou não incluídos na solução.

Resolver um sistema de desigualdades lineares é muito semelhante a resolver sistemas de equações.Gráficosé a maneira mais fácil de resolver desigualdades lineares.

Para representar graficamente um sistema de desigualdades lineares, represente graficamente sua primeira desigualdade como fez acima e sombreie as áreas acima ou abaixo de sua linha. Em seguida, represente graficamente a segunda desigualdade. Mais uma vez, você vai sombrear todas as seções do gráfico que tornam a desigualdade verdadeira. Na maioria das vezes, haverá uma área no gráfico que você sombreou duas vezes! Isto é osoluçãoao sistema de desigualdades, porque éa seção do gráfico onde ambas as desigualdades são verdadeiras​.