Uma série de Taylor é um método numérico de representar uma determinada função. Este método tem aplicação em muitos campos da engenharia. Em alguns casos, como transferência de calor, a análise diferencial resulta em uma equação que se ajusta à forma de uma série de Taylor. Uma série de Taylor também pode representar uma integral se a integral dessa função não existir analiticamente. Essas representações não são valores exatos, mas calcular mais termos na série tornará a aproximação mais precisa.
Escolha um centro para a série Taylor. Esse número é arbitrário, mas é uma boa ideia escolher um centro onde haja simetria na função ou onde o valor do centro simplifique a matemática do problema. Se você estiver calculando a representação da série de Taylor de f (x) = sin (x), um bom centro a ser usado é a = 0.
Determine o número de termos que deseja calcular. Quanto mais termos você usar, mais precisa será sua representação, mas como uma série de Taylor é uma série infinita, é impossível incluir todos os termos possíveis. O exemplo sin (x) usará seis termos.
Calcule as derivadas de que você precisará para a série. Para este exemplo, você deve calcular todas as derivadas até a sexta derivada. Como a série de Taylor começa em "n = 0", você deve incluir a derivada "0", que é apenas a função original. 0ª derivada = sin (x) 1ª = cos (x) 2ª = -sin (x) 3ª = -cos (x) 4ª = sin (x) 5ª = cos (x) 6ª = -sin (x)
Calcule o valor de cada derivada no centro que você escolheu. Esses valores serão os numeradores dos primeiros seis termos da série de Taylor. sin (0) = 0 cos (0) = 1 - sen (0) = 0 -cos (0) = -1 sin (0) = 0 cos (0) = 1 - sen (0) = 0
Use os cálculos derivados e o centro para determinar os termos da série de Taylor. 1º mandato; n = 0; (0/0!) (X - 0) ^ 0 = 0/1 2º termo; n = 1; (1/1!) (X - 0) ^ 1 = x / 1! 3º termo; n = 2; (0/2!) (X - 0) ^ 2 = 0/2! 4º termo; n = 3; (-1/3!) (X - 0) ^ 3 = -x ^ 3/3! 5º mandato; n = 4; (0/4!) (X - 0) ^ 4 = 0/4! 6º mandato; n = 5; (1/5!) (X - 0) ^ 5 = x ^ 5/5! Série de Taylor para sin (x): sin (x) = 0 + x / 1! + 0 - (x ^ 3) / 3! + 0 + (x ^ 5) / 5! + ...
Elimine os termos zero da série e simplifique a expressão algebricamente para determinar a representação simplificada da função. Esta será uma série completamente diferente, portanto, os valores para "n" usados anteriormente não se aplicam mais. sin (x) = 0 + x / 1! + 0 - (x ^ 3) / 3! + 0 + (x ^ 5) / 5! +... sin (x) = x / 1! - (x ^ 3) / 3! + (x ^ 5) / 5! -... Uma vez que os sinais alternam entre positivo e negativo, o primeiro componente da equação simplificada deve ser (-1) ^ n, uma vez que não há números pares na série. O termo (-1) ^ n resulta em um sinal negativo quando n é ímpar e em um sinal positivo quando n é par. A representação em série dos números ímpares é (2n + 1). Quando n = 0, este termo é igual a 1; quando n = 1, esse termo é igual a 3 e assim por diante até o infinito. Neste exemplo, use esta representação para os expoentes de x e os fatoriais no denominador
Use a representação da função no lugar da função original. Para equações mais avançadas e mais difíceis, uma série de Taylor pode tornar uma equação insolúvel solucionável, ou pelo menos fornecer uma solução numérica razoável.