O que são subconjuntos de números reais?

O conjunto de números reais consiste em todos os números em uma reta numérica. Os subconjuntos podem incluir qualquer coleção de números, mas os elementos de um subconjunto importante devem ter pelo menos várias características em comum. A maioria desses subconjuntos são úteis apenas para cálculos específicos, mas existem alguns que têm propriedades interessantes e que ajudam a entender como funciona o sistema de números reais.

TL; DR (muito longo; Não li)

Os subconjuntos mais importantes do conjunto de números reais incluem os números racionais e irracionais. O conjunto de números racionais pode ser dividido em subconjuntos adicionais, incluindo os números naturais, os números inteiros e os inteiros. Outros subconjuntos dos números reais são os números pares e ímpares, os números primos e os números perfeitos. Ao todo, há um número infinito de subconjuntos de números reais.

Para qualquer conjunto contendo uma quantidade de n elementos, o número de subconjuntos é 2

Muitos desses subconjuntos podem ser usados ​​ao trabalhar com o sistema de números reais e durante os cálculos, mas eles são úteis apenas para fins específicos. Por exemplo, para calcular o preço de várias pizzas para amigos, apenas o subconjunto de números de dez a cem pode ser de interesse. Um termômetro externo só pode mostrar o subconjunto de temperaturas de menos 40 a mais 120 graus Fahrenheit. Trabalhar com subconjuntos como esses é útil porque qualquer resultado fora do subconjunto esperado provavelmente está errado.

Os subconjuntos mais gerais de números reais classificam os números de acordo com suas características, e esses subconjuntos têm propriedades exclusivas como resultado. O sistema de números reais evoluiu de subconjuntos, como os números naturais, que são usados ​​para contagem, e esses subconjuntos formam a base para a compreensão da álgebra.

O conjunto dos números reais é composto pelos números racionais e irracionais. Os números racionais são inteiros e números que podem ser expressos como uma fração. Todos os outros números reais são irracionais e incluem números como a raiz quadrada de 2 e o número pi. Como os números irracionais são definidos como um subconjunto de números reais, todos os números irracionais devem ser números reais.

Os números racionais podem ser divididos em subconjuntos adicionais. Os números naturais são números que foram historicamente usados ​​na contagem e são a sequência 1, 2, 3, etc. Os números inteiros são os números naturais mais zero. Os inteiros são os números inteiros mais os números naturais negativos.

Outros subconjuntos dos números racionais incluem conceitos como números pares, ímpares, primos e perfeitos. Os números pares são inteiros que têm 2 como fator; os números ímpares são todos os outros inteiros. Os números primos são inteiros que têm apenas eles próprios e 1 como fatores. Números perfeitos são inteiros cujos fatores somam o número. O menor número perfeito é 6 e seus fatores, 1, 2 e 3 somam 6.

Em geral, os cálculos realizados com números reais fornecem respostas com números reais, mas há uma exceção. Não existe um número real que, quando multiplicado por si mesmo, dê um número real negativo como resposta. Como resultado, a raiz quadrada de um número real negativo não pode ser um número real. As raízes quadradas dos números reais negativos são chamadas de números imaginários e são os elementos de um conjunto de números completamente separado dos números reais.

O estudo dos subconjuntos de números reais faz parte da teoria dos números e classifica os números para facilitar o entendimento de como a teoria dos números funciona. Familiarizar-se com subconjuntos de números reais e suas propriedades é uma boa base para futuros estudos matemáticos.