A álgebra freqüentemente envolve simplificar expressões, mas algumas expressões são mais confusas do que outras. Os números complexos envolvem a quantidade conhecida comoeu, um número “imaginário” com a propriedadeeu= √−1. Se você tiver que simplesmente uma expressão envolvendo um número complexo, pode parecer assustador, mas é um processo bastante simples, uma vez que você aprende as regras básicas.
TL; DR (muito longo; Não li)
Simplifique os números complexos seguindo as regras da álgebra com números complexos.
O que é um número complexo?
Os números complexos são definidos pela inclusão doeutermo, que é a raiz quadrada de menos um. Na matemática de nível básico, raízes quadradas de números negativos não existem realmente, mas ocasionalmente aparecem em problemas de álgebra. A forma geral de um número complexo mostra sua estrutura:
z = a + bi
Ondezrotula o número complexo,umarepresenta qualquer número (chamado de parte "real"), ebrepresenta outro número (chamado de parte “imaginária”), os quais podem ser positivos ou negativos. Portanto, um exemplo de número complexo é:
z = 2 −4i
Uma vez que todas as raízes quadradas de números negativos podem ser representadas por múltiplos deeu, este é o formulário para todos os números complexos. Tecnicamente, um número regular apenas descreve um caso especial de um número complexo ondeb= 0, portanto, todos os números podem ser considerados complexos.
Regras básicas para álgebra com números complexos
Para adicionar e subtrair números complexos, basta adicionar ou subtrair as partes reais e imaginárias separadamente. Então, para números complexosz = 2 – 4eueC = 3 + 5eu, a soma é:
\ begin {alinhado} z + w & = (2 - 4i) + (3 + 5i) \\ & = (2 + 3) + (-4 + 5) i \\ & = 5 + 1i \\ & = 5 + i \ end {alinhado}
Subtrair os números funciona da mesma maneira:
\ begin {alinhado} z- w & = (2 - 4i) - (3 + 5i) \\ & = (2 - 3) + (-4 - 5) i \\ & = -1 -9i \ end {alinhado }
A multiplicação é outra operação simples com números complexos, porque funciona como a multiplicação normal, exceto que você deve se lembrar queeu2 = −1. Então, para calcular 3eu × −4eu:
3i × -4i = -12i ^ 2
Mas desdeeu2= -1, então:
-12i ^ 2 = -12 × -1 = 12
Com números complexos completos (usandoz = 2 – 4eueC = 3 + 5eunovamente), você os multiplica da mesma forma que faria com números comuns, como (uma + b) (c + d), usando o método "primeiro, interno, externo, último" (FOIL), para dar (uma + b) (c + d) = ac + ac + de Anúncios + bd. Tudo que você precisa lembrar é simplificar quaisquer instâncias deeu2. Então, por exemplo:
\ begin {alinhado} z × w & = (2 -4i) (3 + 5i) \\ & = (2 × 3) + (-4i × 3) + (2 × 5i) + (−4i × 5i) \ \ & = 6 -12i + 10i - 20i ^ 2 \\ & = 6 -2i + 20 \\ & = 26 + 2i \ end {alinhado}
Dividindo Números Complexos
A divisão de números complexos envolve a multiplicação do numerador e denominador da fração pelo conjugado complexo do denominador. O conjugado complexo significa apenas a versão do número complexo com a parte imaginária invertida no sinal. Então paraz = 2 – 4eu, o conjugado complexoz = 2 + 4eu, e paraC = 3 + 5eu, C = 3 −5eu. Para o problema:
\ frac {z} {w} = \ frac {2 -4i} {3 + 5i}
O conjugado necessário éC*. Divida o numerador e o denominador por este para obter:
\ frac {z} {w} = \ frac {(2 -4i) (3 -5i)} {(3 + 5i) (3-5i)}
E então você trabalha como na seção anterior. O numerador dá:
\ begin {alinhado} (2 -4i) (3 -5i) & = 6 -12i- 10i + 20i ^ 2 \\ & = -14-22i \ end {alinhado}
E o denominador dá:
\ begin {alinhado} (3 + 5i) (3-5i) & = 9 + 15i - 15i -25i ^ 2 \\ & = 9 + 25 \\ & = 34 \ end {alinhado}
Isso significa:
\ begin {alinhados} \ frac {z} {w} & = \ frac {-14 - 22i} {34} \\ \, \\ & = \ frac {-14} {34} - \ frac {22i} { 34} \\ \, \\ & = \ frac {-7} {17} - \ frac {11i} {17} \ end {alinhado}
Simplificando Números Complexos
Use as regras acima conforme necessário para simplificar expressões complexas. Por exemplo:
z = \ frac {(4 + 2i) + (2 -i)} {(2 + 2i) (2+ i)}
Isso pode ser simplificado usando a regra de adição no numerador, a regra de multiplicação no denominador e, em seguida, completando a divisão. Para o numerador:
(4 + 2i) + (2 - i) = 6 + i
Para o denominador:
\ begin {alinhado} (2 + 2i) (2+ i) & = 4 + 4i + 2i + 2i ^ 2 \\ & = (4 -2) + 6i \\ & = 2 + 6i \ end {alinhado}
Colocá-los de volta no lugar dá:
z = \ frac {6 + i} {2 + 6i}
Multiplicando ambas as partes pelo conjugado do denominador leva a:
\ begin {alinhado} z & = \ frac {(6 + i) (2 - 6i)} {(2 + 6i) (2 -6i)} \\ \, \\ & = \ frac {12 + 2i -36i -6i ^ 2} {4 + 12i -12i -36i ^ 2} \\ \, \\ & = \ frac {18 - 34i} {40} \\ \, \\ & = \ frac {9 - 17i} {20} \\ \, \\ & = \ frac {9} {20} - \ frac {17i} {20} \\ \ end {alinhado}
Então isso significazsimplifica da seguinte forma:
\ begin {alinhado} z & = \ frac {(4 + 2i) + (2 - i)} {(2 + 2i) (2+ i)} \\ & = \ frac {9} {20} - \ frac {17i} {20} \\ \ end {alinhado}