Como fazer uma espiral a partir do teorema de Pitágoras

Uma das virtudes da geometria, do ponto de vista do professor, é que ela é altamente visual. Por exemplo, você pode pegar o Teorema de Pitágoras - um bloco de construção fundamental da geometria - e aplicá-lo para construir uma espiral em forma de caracol com várias propriedades interessantes. Às vezes chamada de espiral de raiz quadrada ou espiral de Teodoro, esta nave aparentemente fácil demonstra relações matemáticas de uma forma atraente.

O teorema de Pitágoras afirma que, em um triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual ao quadrado dos outros dois lados. Expresso matematicamente, isso significa A ao quadrado + B ao quadrado = C ao quadrado. Contanto que você saiba os valores para quaisquer dois lados de um triângulo retângulo, você pode usar este cálculo para chegar a um valor para o terceiro lado. A unidade de medida real que você escolhe usar pode ser qualquer coisa de polegadas a milhas, mas a relação permanece a mesma. Isso é importante lembrar porque você nem sempre trabalhará necessariamente com uma medição física específica. Você pode definir uma linha de qualquer comprimento como "1" para fins de cálculo e, em seguida, expressar todas as outras linhas por sua relação com a unidade escolhida. É assim que funciona a espiral.

Para construir uma espiral, faça um ângulo reto com os lados A e B de igual comprimento, que se torna o valor "1". Em seguida, faça outro triângulo retângulo usando o lado C do seu primeiro triângulo - a hipotenusa - como o lado A do novo triângulo. Mantenha o lado B com o mesmo comprimento com o valor 1 escolhido. Repita o mesmo processo novamente, usando a hipotenusa do segundo triângulo como o primeiro lado do novo triângulo. São necessários 16 triângulos para percorrer todo o caminho até o ponto onde a espiral começaria a se sobrepor ao seu ponto de partida, que é onde o antigo matemático Teodoro parou.

O teorema de Pitágoras nos diz que a hipotenusa do primeiro triângulo deve ser a raiz quadrada de 2, porque cada lado tem um valor de 1 e 1 ao quadrado ainda é 1. Portanto, cada lado tem uma área de 1 ao quadrado e, quando esses são somados, o resultado é 2 ao quadrado. O que torna a espiral interessante é que a hipotenusa do próximo triângulo é a raiz quadrada de 3, e a seguinte é a raiz quadrada de 4 e assim por diante. É por isso que costuma ser chamada de espiral de raiz quadrada, em vez de espiral pitagórica ou espiral de Teodoro. Em uma nota prática, se você estiver planejando criar uma espiral desenhando no papel ou cortando triângulos de papel e montando-os em um suporte de papelão, você pode calcular com antecedência quão grande o seu valor de 1 pode ser se a espiral finalizada caber no página. Sua linha mais longa será a raiz quadrada de 17, para qualquer valor de 1 que você escolheu. Você pode trabalhar para trás a partir do tamanho de sua página para encontrar um valor adequado de 1.

A espiral tem vários usos em salas de aula ou em ambientes de tutoria, dependendo da idade dos alunos e de sua familiaridade com os fundamentos da geometria. Se você está apenas introduzindo os conceitos básicos, criar a espiral é um tutorial útil sobre o teorema de Pitágoras. Por exemplo, você pode fazer com que eles façam os cálculos com base em um valor de 1 e, em seguida, novamente usando um comprimento do mundo real em polegadas ou centímetros. A semelhança da espiral com uma concha de caracol oferece uma oportunidade para discutir as formas matemáticas relacionamentos aparecem no mundo natural e - para crianças mais novas - se prestam a decorações coloridas esquemas. Para alunos avançados, a espiral demonstra uma série de relações intrigantes à medida que continua através de vários enrolamentos.