O produto de duas grandezas escalares é um escalar, e o produto de um escalar com um vetor é um vetor, mas e quanto ao produto de dois vetores? É um escalar ou outro vetor? A resposta é: pode ser qualquer um!
Existem duas maneiras de multiplicar vetores. Uma é pegar seu produto escalar, que produz um escalar, e a outra é pegar seu produto vetorial, que produz outro vetor. O produto a ser usado depende do cenário específico e da quantidade que você está tentando encontrar.
Oproduto escalaràs vezes é chamado deproduto escalarouproduto Interno. Geometricamente, você pode pensar no produto escalar entre dois vetores como uma forma de multiplicar os valores do vetor que contam apenas as contribuições na mesma direção.
- Nota: Os produtos de ponto podem ser negativos ou positivos, mas esse sinal não é uma indicação de direção. Embora em uma dimensão, a direção do vetor seja frequentemente indicada com sinal, as grandezas escalares também podem ter sinais associados a elas que não são indicadores de direção. A dívida é apenas um dos muitos exemplos disso.
Definição do Produto Interno
O produto escalar dos vetoresuma = (ax, umay)eb = (bx, by)em um sistema de coordenadas cartesianas padrão é definido da seguinte forma:
\ bold {a \ cdot b} = a_xb_x + a_yb_y
Quando você pega o produto escalar de um vetor consigo mesmo, surge uma relação interessante:
\ bold {a \ cdot a} = a_xa_x + a_ya_y = | \ bold {a} | ^ 2
Onde |uma| é a magnitude (comprimento) deumapelo teorema de Pitágoras.
Outra fórmula de produto escalar pode ser derivada usando a lei dos cossenos. Isto se faz do seguinte modo:
Considere vetores diferentes de zeroumaebjunto com seu vetor de diferençaa - b. Organize os três vetores para formar um triângulo.
A lei dos cossenos da trigonometria nos diz que:
| \ bold {ab} | ^ 2 = | \ bold {a} | ^ 2 + | \ bold {b} | ^ 2 - 2 | \ bold {a} || \ bold {b} | \ cos (\ theta )
E usando a definição do produto escalar, obtemos:
| \ bold {ab} | ^ 2 = (\ bold {ab}) \ cdot (\ bold {ab}) = (a_x-b_X) ^ 2 + (a_y-b_y) ^ 2 \\ = (a_x) ^ 2 + (b_x) ^ 2 - 2a_xb_x + (a_y) ^ 2 + (b_y) ^ 2 - 2a_yb_y \\ = | \ bold {a} | ^ 2 + | \ bold {b} | ^ 2 - 2 \ bold {a \ cdot b}
Configurando ambas as expressões iguais e depois simplificando, obtemos:
\ cancel {| \ bold {a} | ^ 2} + \ cancel {| \ bold {b} | ^ 2} - 2 \ bold {a \ cdot b} = \ cancel {| \ bold {a} | ^ 2 } + \ cancel {| \ bold {b} | ^ 2} - 2 | \ bold {a} || \ bold {b} | \ cos (\ theta) \\\ texto {} \\\ implica \ boxed {\ bold {a \ cdot b} = | \ bold {a} || \ bold {b} | \ cos (\ theta)}
Essa formulação permite que nossa intuição geométrica entre em ação. A quantidade |uma| cos (θ) é a magnitude da projeção do vetorumano vetorb.
Portanto, podemos pensar no produto escalar como a projeção de um vetor sobre o outro e, em seguida, o produto de seus valores. Em outras palavras, pode ser visto como o produto de um vetor com a quantidade do outro vetor na mesma direção que ele.
Propriedades do Produto Interno
A seguir estão várias propriedades do produto escalar que podem ser úteis:
\#\texto 1. Se} \ theta = 0 \ text {, então} \ bold {a \ cdot b} = | \ bold {a} || \ bold {b} |
Isso ocorre porque cos (0) = 1.
\ # \ text {2. Se} \ theta = 180 \ text {, então} \ bold {a \ cdot b} = - | \ bold {a} || \ bold {b} |
Isso ocorre porque cos (180) = -1.
\ # \ text {3. Se} \ theta = 90 \ text {, então} \ bold {a \ cdot b} = 0
Isso ocorre porque cos (90) = 0.
- Nota: Para 0 <
θ
<90, o produto escalar será positivo e para 90 <
θ
<180, o produto escalar será negativo.
\ # \ text {4. } \ bold {a \ cdot b} = \ bold {b \ cdot a}
Isso decorre da aplicação da lei comutativa à definição do produto escalar.
\ # \ text {5. } \ bold {a \ cdot (b + c)} = \ bold {a \ cdot b} + \ bold {a \ cdot c}
Prova:
\ bold {a \ cdot (b + c)} = \ bold {a} \ cdot (b_x + c_x, b_y + c_y) \\ = a_x (b_x + c_x) + a_y (b_y + c_y) \\ = a_xb_x + a_xc_x + a_yb_y + a_yc_y \\ = (a_xb_x + a_yb_y) + (a_xc_x + a_yc_y) \\ = \ bold {a \ cdot b} + \ bold {a \ cdot c}
\ # \ text {6. } c (\ bold {a \ cdot b}) = (c \ bold {a}) \ cdot \ bold {b}
Prova:
c (\ bold {a \ cdot b}) = c (a_xb_x + a_yb_y) \\ = ca_xb_x + ca_yb_y \\ = (ca_x) b_x + (ca_y) b_y \\ = (c \ bold {a}) \ cdot \ negrito {b}
Como Encontrar o Produto Interno
Exemplo 1:Na física, trabalho feito por uma forçaFem um objeto enquanto ele sofre deslocamentod, é definido como:
W = \ bold {F} \ cdot \ bold {d} = | \ bold {F} || \ bold {d} | \ cos (\ theta)
Onde θ é o ângulo entre o vetor força e o vetor deslocamento.
A quantidade de trabalho realizado por uma força é uma indicação de quanto essa força contribuiu para o deslocamento. Se a força estiver na mesma direção do deslocamento (cos (θ) = 0), ela dá sua contribuição máxima. Se for perpendicular ao deslocamento (cos (Ѳ) = 90), não faz nenhuma contribuição. E se for oposto ao deslocamento, (cos (θ) = 180), faz uma contribuição negativa.
Suponha que uma criança empurre um trem de brinquedo em um trilho aplicando uma força de 5 N em um ângulo de 25 graus em relação à linha do trilho. Quanto trabalho a criança faz no trem quando ela o move 0,5 m?
Solução:
F = 5 \ text {N} \\ d = 0,5 \ text {m} \\ \ theta = 25 \ graus \\
Usando a definição de produto escalar de trabalho e inserindo valores, obtemos:
W = Fd \ cos (\ theta) = 5 \ times0,5 \ times \ cos (25) = \ boxed {2,27 \ text {J}}
A partir deste exemplo concreto, deve ficar ainda mais claro que a aplicação de uma força perpendicular à direção do deslocamento não funciona. Se a criança empurrou o trem em um ângulo reto em relação aos trilhos, o trem não se moverá para frente ou para trás ao longo dos trilhos. Também é intuitivo que o trabalho realizado pela criança no trem aumentará à medida que o ângulo diminui e a força e o deslocamento ficam mais próximos do alinhamento.
Exemplo 2:A energia é outro exemplo de uma quantidade física que pode ser calculada usando um produto escalar. Na física, potência é igual a trabalho dividido pelo tempo, mas também pode ser escrito como o produto escalar da força e velocidade, conforme mostrado:
P = \ frac {W} {t} = \ frac {\ bold {F \ cdot d}} {t} = \ bold {F} \ cdot \ frac {\ bold {d}} {t} = \ bold { F \ cdot v}
Ondevé a velocidade.
Considere o exemplo anterior da criança brincando com o trem. Se, em vez disso, nos for dito que a mesma força é aplicada, fazendo com que o trem se mova a 2 m / s no trilho, então podemos usar o produto escalar para encontrar a potência:
P = \ bold {F \ cdot v} = Fv \ cos (\ theta) = 5 \ times2 \ times \ cos (25) = 9,06 \ text {Watts}
Exemplo 3:Outro exemplo onde os produtos escalares são usados na física é no caso do fluxo magnético. Fluxo magnético é a quantidade de campo magnético que passa por uma determinada área. É encontrado como o produto escalar do campo magnéticoBcom a áreaUMA. (A direção de um vetor de área énormal, ou perpendicular à superfície da área.)
\ Phi = \ bold {B \ cdot A}
Suponha que um campo de 0,02 Tesla passe por uma alça de arame de raio de 10 cm, formando um ângulo de 30 graus com o normal. Qual é o fluxo?
\ Phi = \ bold {B \ cdot A} = BA \ cos (\ theta) = 0,02 \ vezes (\ pi \ times0,1 ^ 2) \ times \ cos (30) = 0,000544 \ text {Wb}
Quando este fluxo muda, seja mudando o valor do campo, mudando a área do loop ou mudando o ângulo girando o loop ou fonte de campo, a corrente será induzida no loop, gerando eletricidade!
Mais uma vez, observe como o ângulo é relevante de forma intuitiva. Se o ângulo fosse de 90 graus, isso significaria que o campo ficaria no mesmo plano da área e nenhuma linha de campo passaria pelo loop, resultando em nenhum fluxo. A quantidade de fluxo então aumenta quanto mais próximo o ângulo entre o campo e o normal chega a 0. O produto escalar nos permite determinar quanto do campo está na direção normal à superfície e, portanto, contribui para o fluxo.
Projeção vetorial e o produto interno
Nas seções anteriores, foi mencionado que o produto escalar pode ser pensado como uma forma de projetar um vetor sobre outro e então multiplicar suas magnitudes. Como tal, não deveria ser surpreendente que uma fórmula para projeção vetorial possa ser derivada do produto escalar.
A fim de projetar vetorumano vetorb, pegamos o produto escalar deumacom umvetor unitáriona direção debe, em seguida, multiplique esse resultado escalar pelo mesmo vetor unitário.
Um vetor unitário é um vetor de comprimento 1 que se encontra em uma direção particular. O vetor unitário na direção do vetorbé simplesmente vetorbdividido por sua magnitude:
\ frac {\ bold {b}} {| \ bold {b} |}
Portanto, esta projeção é então:
\ text {Projeção de} \ bold {a} \ text {em} \ bold {b} = \ Big (\ bold {a} \ cdot \ frac {\ bold {b}} {| \ bold {b} |} \ Grande) \ frac {\ bold {b}} {| \ bold {b} |} = \ Grande (\ bold {a} \ cdot \ frac {\ bold {b}} {| \ bold {b} | ^ 2} \ Grande) \ negrito {b}
O Produto Interno em Dimensão Superior
Assim como os vetores existem em dimensões superiores, o mesmo ocorre com o produto escalar. Imagine o exemplo da criança empurrando o trem novamente. Suponha que ela empurre para baixo e em ângulo para o lado da pista. Em um sistema de coordenadas padrão, os vetores de força e deslocamento precisariam ser representados como tridimensionais.
Dentrondimensões, o produto escalar é definido da seguinte forma:
\ bold {a \ cdot b} = \ overset {n} {\ underset {i = 1} {\ sum}} a_ib_i = a_1b_1 + a_2b_2 +... + a_nb_n
Todas as mesmas propriedades de produto escalar de antes ainda se aplicam, e a lei dos cossenos mais uma vez fornece a relação:
\ bold {a \ cdot b} = | \ bold {a} || \ bold {b} | \ cos (\ theta)
Onde a magnitude de cada vetor é encontrada através do seguinte, novamente consistente com o teorema de Pitágoras:
| \ bold {a} | = \ sqrt {\ bold {a \ cdot a}} = \ sqrt {(a_1) ^ 2 + (a_2) ^ 2 +... + (a_n) ^ 2}
Como encontrar o produto interno em três dimensões
Exemplo 1:O produto escalar é particularmente útil quando é necessário encontrar o ângulo entre dois vetores. Por exemplo, suponha que queremos determinar o ângulo entreuma= (2, 3, 2) eb= (1, 4, 0). Mesmo se você esboçar esses dois vetores no espaço 3, pode ser muito difícil entender a geometria. Mas a matemática é bastante simples, usando o fato de que:
\ bold {a \ cdot b} = | \ bold {a} || \ bold {b} | \ cos (\ theta) \\\ implica \ theta = \ cos ^ {- 1} \ Big (\ frac {\ negrito {a \ cdot b}} {| \ bold {a} || \ bold {b} |} \ Grande)
Em seguida, computar o produto escalar deumaeb:
\ bold {a \ cdot b} = 2 \ times1 + 3 \ times4 + 2 \ times0 = 14
E calculando as magnitudes de cada vetor:
| \ bold {a} | = \ sqrt {2 ^ 2 + 3 ^ 2 + 2 ^ 2} = \ sqrt {17} = 4,12 \\ | \ bold {b} | = \ sqrt {1 ^ 2 + 4 ^ 2 + 0 ^ 2} = \ sqrt {17} = 4,12
E, finalmente, conectando tudo, temos:
\ theta = \ cos ^ {- 1} \ Big (\ frac {\ bold {a \ cdot b}} {| \ bold {a} || \ bold {b} |} \ Big) = \ cos ^ {- 1} \ Grande (\ frac {14} {4,12 \ vezes 4,12} \ Grande) = \ boxed {34,4 \ graus}
Exemplo 2:Uma carga positiva fica no ponto de coordenada (3, 5, 4) no espaço tridimensional. Em que ponto ao longo da linha apontando na direção do vetoruma= (6, 9, 5) o campo elétrico é o maior?
Solução: pelo nosso conhecimento de como a intensidade do campo elétrico se relaciona com a distância, sabemos que o ponto na linha que está mais próxima da carga positiva é o local onde o campo será o mais forte. Com base em nosso conhecimento de produtos escalares, podemos supor que o uso da fórmula de projeção faz sentido aqui. Essa fórmula deve nos dar um vetor cuja ponta está exatamente no ponto que estamos procurando.
Precisamos calcular:
\ text {Projeção de} (3, 5, 4) \ text {em} \ bold {a} = \ Big ((3,5,4) \ cdot \ frac {\ bold {a}} {| \ bold { a} | ^ 2} \ Grande) \ negrito {a}
Para fazer isso, primeiro vamos encontrar |uma|2:
| \ bold {a} | ^ 2 = 6 ^ 2 + 9 ^ 2 + 5 ^ 2 = 142
Em seguida, o produto escalar:
(3,5,4) \ cdot (6,9,5) = 3 \ times6 + 5 \ times9 + 4 \ times5 = 83
Dividindo isso por |uma|2 dá 83/142 = 0,585. Então, multiplicando este escalar porumadá:
0,585 \ negrito {a} = 0,585 \ vezes (6,9,5) = (3,51,5,27,2,93)
Portanto, o ponto ao longo da linha onde o campo é mais forte é (3,51, 5,27, 2,93).
