Seja um patinador no gelo puxando seus braços e girando mais rápido do que ela ou um gato controlando a velocidade com que ele gira durante uma queda para garantir que ele caia de pé, o conceito de momento de inércia é crucial para a física da rotação movimento.
Também conhecido como inércia rotacional, o momento de inércia é o análogo rotacional da massa no a segunda das leis de movimento de Newton, descrevendo a tendência de um objeto de resistir à aceleração angular.
O conceito pode não parecer muito interessante no início, mas em combinação com a lei da conservação de momentum, pode ser usado para descrever muitos fenômenos físicos fascinantes e prever o movimento em uma ampla gama de situações.
Definição de momento de inércia
O momento de inércia de um objeto descreve sua resistência à aceleração angular, sendo responsável pela distribuição da massa em torno de seu eixo de rotação.
Essencialmente, quantifica o quão difícil é alterar a velocidade de rotação de um objeto, quer isso signifique iniciar sua rotação, interrompê-lo ou alterar a velocidade de um objeto já em rotação.
Às vezes é chamado de inércia rotacional e é útil pensar nisso como um análogo da massa na segunda lei de Newton:Finternet = mãe. Aqui, a massa de um objeto é frequentemente chamada de massa inercial e descreve a resistência do objeto ao movimento (linear). A inércia rotacional funciona exatamente assim para o movimento rotacional, e a definição matemática sempre inclui a massa.
A expressão equivalente à segunda lei para o movimento rotacional se relacionatorque (τ, o análogo rotacional da força) para a aceleração angularαe momento de inérciaeu:
\ tau = I \ alpha
O mesmo objeto pode ter vários momentos de inércia, no entanto, porque embora uma grande parte da definição seja sobre a distribuição de massa, ela também leva em consideração a localização do eixo de rotação.
Por exemplo, enquanto o momento de inércia de uma haste girando em torno de seu centro éeu = ML2/ 12 (ondeMé massa eeué o comprimento da haste), a mesma haste girando em torno de uma extremidade tem um momento de inércia dado poreu = ML2/3.
Equações para o momento de inércia
Portanto, o momento de inércia de um corpo depende de sua massaM, seu raioRe seu eixo de rotação.
Em alguns casos,Ré referido comod, para distância do eixo de rotação, e em outros (como com a haste na seção anterior) é substituído por comprimento,eu. O símboloeué usado para momento de inércia, e tem unidades de kg m2.
Como você pode esperar com base no que aprendeu até agora, existem muitas equações diferentes para o momento de inércia e cada uma se refere a uma forma específica e um eixo de rotação específico. Em todos os momentos de inércia, o termoSR2 aparece, embora para formas diferentes haja frações diferentes antes desse termo e, em alguns casos, pode haver vários termos somados.
OSR2 componente é o momento de inércia para um ponto de massa à distânciaRdo eixo de rotação, e a equação para um corpo rígido específico é construída como uma soma de massas de pontos, ou pela integração de um número infinito de pequenas massas de pontos sobre o objeto.
Embora em alguns casos possa ser útil derivar o momento de inércia de um objeto com base em uma simples soma aritmética de pontos de massa ou por integrando, na prática, há muitos resultados para formas e eixos de rotação comuns que você pode simplesmente usar sem precisar derivá-los primeiro:
Cilindro sólido (eixo de simetria):
I = \ frac {1} {2} MR ^ 2
Cilindro sólido (eixo do diâmetro central ou o diâmetro da seção transversal circular no meio do cilindro):
I = \ frac {1} {4} MR ^ 2 + \ frac {1} {12} ML ^ 2
Esfera sólida (eixo central):
I = \ frac {2} {5} MR ^ 2
Casca esférica fina (eixo central):
I = \ frac {2} {3} MR ^ 2
Arco (eixo de simetria, ou seja, perpendicularmente através do centro):
I = MR ^ 2
Arco (eixo do diâmetro, ou seja, através do diâmetro do círculo formado pelo arco):
I = \ frac {1} {2} MR ^ 2
Haste (eixo central, perpendicular ao comprimento da haste):
I = \ frac {1} {12} ML ^ 2
Haste (girando sobre o fim):
I = \ frac {1} {3} ML ^ 2
Inércia rotacional e eixo de rotação
Entender por que existem diferentes equações para cada eixo de rotação é um passo fundamental para compreender o conceito de momento de inércia.
Pense em um lápis: você pode girá-lo girando-o no meio, no final ou girando-o em torno de seu eixo central. Como a inércia rotacional de um objeto depende da distribuição de massa em torno do eixo de rotação, cada uma dessas situações é diferente e requer uma equação separada para descrevê-la.
Você pode obter uma compreensão instintiva do conceito de momento de inércia se escalar esse mesmo argumento até um mastro de 9 metros.
Girar de ponta a ponta seria muito difícil - se você pudesse fazer isso - enquanto girar a haste em torno de seu eixo central seria muito mais fácil. Isso ocorre porque o torque depende fortemente da distância do eixo de rotação, e nos 30 pés exemplo de mastro de bandeira, girá-lo de ponta a ponta envolve cada extremidade extrema a 15 pés de distância do eixo de rotação.
No entanto, se você girar em torno do eixo central, tudo ficará bem próximo ao eixo. A situação é muito parecida com carregar um objeto pesado com o braço estendido vs. segurando-o perto de seu corpo, ou operando uma alavanca a partir do final vs. perto do fulcro.
É por isso que você precisa de uma equação diferente para descrever o momento de inércia para o mesmo objeto dependendo do eixo de rotação. O eixo escolhido afeta a distância que as partes do corpo estão do eixo de rotação, embora a massa do corpo permaneça a mesma.
Usando as Equações para Momento de Inércia
A chave para calcular o momento de inércia de um corpo rígido é aprender a usar e aplicar as equações apropriadas.
Considere o lápis da seção anterior, sendo girado de ponta a ponta em torno de um ponto central ao longo de seu comprimento. Embora não seja umperfeitohaste (a ponta pontiaguda quebra esta forma, por exemplo) pode ser modelada como tal para evitar que você tenha que passar por um momento completo de derivação de inércia para o objeto.
Assim, modelando o objeto como uma haste, você usaria a seguinte equação para encontrar o momento de inércia, combinado com a massa total e o comprimento do lápis:
I = \ frac {1} {12} ML ^ 2
Um desafio maior é encontrar o momento de inércia para objetos compostos.
Por exemplo, considere duas bolas conectadas entre si por uma haste (que trataremos como sem massa para simplificar o problema). A bola um está a 2 kg e posicionada a 2 m do eixo de rotação, e a bola dois está a 5 kg de massa e 3 m de distância do eixo de rotação.
Neste caso, você pode encontrar o momento de inércia para este objeto composto, considerando cada bola como um ponto de massa e trabalhando a partir da definição básica que:
\ begin {alinhados} I & = m_1r_1 ^ 2 + m_2r_2 ^ 2 + m_3r_3 ^ 2…. \\ & = \ sum _ {\ mathclap {i}} m_ir_i ^ 2 \ end {alinhados}
Com os subscritos simplesmente diferenciando entre objetos diferentes (ou seja, bola 1 e bola 2). O objeto de duas bolas teria então:
\ begin {alinhado} I & = m_1r_1 ^ 2 + m_2r_2 ^ 2 \\ & = 2 \; \ text {kg} × (2 \; \ text {m}) ^ 2 + 5 \; \ text {kg} × (3 \; \ text {m}) ^ 2 \\ & = 8 \; \ text {kg m} ^ 2 + 45 \; \ text {kg m} ^ 2 \\ & = 53 \; \ text {kg m} ^ 2 \ end {alinhado}
Momento de Inércia e Conservação do Momento Angular
O momento angular (o análogo rotacional para o momento linear) é definido como o produto da inércia rotacional (ou seja, o momento de inércia,eu) do objeto e sua velocidade angularω), que é medido em graus / s ou rad / s.
Você, sem dúvida, estará familiarizado com a lei da conservação do momento linear, e o momento angular também é conservado da mesma maneira. A equação para momento angulareu) é:
L = Iω
Pensar sobre o que isso significa na prática explica muitos fenômenos físicos, porque (na ausência de outras forças), quanto maior a inércia rotacional de um objeto, menor sua velocidade angular.
Considere um patinador de gelo girando a uma velocidade angular constante com os braços estendidos e observe que seus braços estendidos aumentam o raioRsobre o qual sua massa é distribuída, levando a um momento de inércia maior do que se seus braços estivessem perto de seu corpo.
Seeu1 é calculado com os braços estendidos eeu2, depois de puxar os braços deve ter o mesmo valor (porque o momento angular é conservado), o que acontece se ele diminuir seu momento de inércia puxando os braços? Sua velocidade angularωaumenta para compensar.
Os gatos realizam movimentos semelhantes para ajudá-los a cair de pé.
Esticando suas pernas e cauda, eles aumentam seu momento de inércia e reduzem a velocidade de sua rotação, e, inversamente, podem retrair as pernas para diminuir o momento de inércia e aumentar a velocidade de rotação. Eles usam essas duas estratégias - junto com outros aspectos de seu "reflexo de endireitamento" - para garantir que seus pés pousem primeiro, e você pode ver fases distintas de enrolamento e alongamento em fotografias de um gato com lapso de tempo pousar.
Momento de inércia e energia cinética rotacional
Continuando os paralelos entre o movimento linear e o movimento rotacional, os objetos também têm energia cinética rotacional da mesma forma que têm energia cinética linear.
Pense em uma bola rolando pelo solo, girando em torno de seu eixo central e avançando de forma linear: a energia cinética total da bola é a soma de sua energia cinética linearEk e sua energia cinética rotacionalEpodridão. Os paralelos entre essas duas energias são refletidos nas equações para ambos, lembrando que a momento de inércia é o análogo rotacional da massa e sua velocidade angular é o análogo rotacional do linear velocidadev):
E_k = \ frac {1} {2} mv ^ 2
E_ {rot} = \ frac {1} {2} Iω ^ 2
Você pode ver claramente que ambas as equações têm exatamente a mesma forma, com os análogos rotacionais apropriados substituindo a equação de energia cinética rotacional.
Claro, para calcular a energia cinética rotacional, você precisará substituir a expressão apropriada para o momento de inércia do objeto no espaço paraeu. Considerando a bola, e modelando o objeto como uma esfera sólida, a equação neste caso é:
\ begin {alinhados} E_ {rot} & = \ bigg (\ frac {2} {5} MR ^ 2 \ bigg) \ frac {1} {2} ω ^ 2 \\ & = \ frac {1} {5 } MR ^ 2 ω ^ 2 \ end {alinhado}
A energia cinética total (Etot) é a soma disso e da energia cinética da bola, então você pode escrever:
\ begin {alinhados} E_ {tot} & = E_k + E_ {rot} \\ & = \ frac {1} {2} Mv ^ 2 + \ frac {1} {5} MR ^ 2 ω ^ 2 \ end { alinhado}
Para uma bola de 1 kg movendo-se a uma velocidade linear de 2 m / s, com um raio de 0,3 me com uma velocidade angular de 2π rad / s, a energia total seria:
\ begin {alinhados} E_ {tot} & = \ frac {1} {2} 1 \; \ text {kg} × (2 \; \ text {m / s}) ^ 2 + \ frac {1} {5 } (1 \; \ text {kg} × (0,3 \; \ text {m}) ^ 2 × (2π \; \ text {rad / s}) ^ 2) \\ & = 2 \; \ text {J} + 0,71 \; \ text {J} \\ & = 2,71 \; \ text {J} \ end {alinhado}
Dependendo da situação, um objeto pode possuir apenas energia cinética linear (por exemplo, uma bola caiu de uma altura sem rotação transmitida a ela) ou apenas energia cinética rotacional (uma bola girando, mas permanecendo no lugar).
Lembre-se de que étotalenergia que é conservada. Se uma bola é chutada em uma parede sem rotação inicial, e ela salta de volta em uma velocidade mais baixa, mas com um giro transmitido, bem como a energia perdida para o som e o calor quando fez contato, parte da energia cinética inicial foi transferida para a energia cinética rotacional, e assimnão podepossivelmente se mova tão rápido quanto antes de se recuperar.