A integração de funções é uma das principais aplicações do cálculo. Às vezes, isso é simples, como em:
F (x) = \ int (x ^ 3 + 8) dx
Em um exemplo comparativamente complicado desse tipo, você pode usar uma versão da fórmula básica para integrar integrais indefinidos:
\ int (x ^ n + A) dx = \ frac {x ^ {(n + 1)}} {n + 1} + Ax + C
OndeUMAeCsão constantes.
Assim, para este exemplo,
\ int x ^ 3 + 8 = \ frac {x ^ 4} {4} + 8x + C
Integração de funções básicas de raiz quadrada
Superficialmente, integrar uma função de raiz quadrada é estranho. Por exemplo, você pode ser bloqueado por:
F (x) = \ int \ sqrt {(x ^ 3) + 2x - 7} dx
Mas você pode expressar uma raiz quadrada como um expoente, 1/2:
\ sqrt {x ^ 3} = x ^ {3 (1/2)} = x ^ {(3/2)}
A integral, portanto, torna-se:
\ int (x ^ {3/2} + 2x - 7) dx
ao qual você pode aplicar a fórmula usual acima:
\ begin {alinhado} \ int (x ^ {3/2} + 2x - 7) dx & = \ frac {x ^ {(5/2)}} {5/2} + 2 \ bigg (\ frac {x ^ 2} {2} \ bigg) - 7x \\ & = \ frac {2} {5} x ^ {(5/2)} + x ^ 2 - 7x \ end {alinhado}
Integração de funções de raiz quadrada mais complexas
Às vezes, você pode ter mais de um termo sob o sinal radical, como neste exemplo:
F (x) = \ int \ frac {x + 1} {\ sqrt {x - 3}} dx
Você pode usarvocê-substituição para prosseguir. Aqui, você definevocêigual à quantidade no denominador:
u = \ sqrt {x - 3}
Resolva isso paraxquadrando ambos os lados e subtraindo:
u ^ 2 = x - 3 \\ x = u ^ 2 + 3
Isso permite que você obtenha dx em termos devocêtomando a derivada dex:
dx = (2u) du
Substituir de volta na integral original dá
\ begin {alinhado} F (x) & = \ int \ frac {u ^ 2 + 3 + 1} {u} (2u) du \\ & = \ int \ frac {2u ^ 3 + 6u + 2u} {u } du \\ & = \ int (2u ^ 2 + 8) du \ end {alinhado}
Agora você pode integrar isso usando a fórmula básica e expressandovocêem termos dex:
\ begin {alinhado} \ int (2u ^ 2 + 8) du & = \ frac {2} {3} u ^ 3 + 8u + C \\ & = \ frac {2} {3} (\ sqrt {x - 3}) ^ 3 + 8 (\ sqrt {x - 3}) + C \\ & = \ frac {2} {3} (x - 3) ^ {(3/2)} + 8 (x - 3) ^ {(1/2)} + C \ end {alinhado}