UMA prisma pode ser um item decorativo elegante, uma ferramenta da física ou meramente uma construção geométrica atraente que também passa a ser útil. O olho e a mente humanos têm uma queda pela simetria na arte e na natureza, e encontram atratividade em formas tridimensionais que são regulares, multifacetadas e transmitem, bem como refletem a luz.
Objetos com um muitos de lados - por exemplo, um dodecaedro, que tem 12 faces idênticas de cinco lados formando sua superfície - são divertidos de se olhar, mas a matemática subjacente à sua geometria pode ser tediosa na melhor das hipóteses.
Um prisma de cinco lados (ou seja, pentagonal) é um ponto de partida útil para os alunos que estão tentando aprender como calcular os volumes de poliedros, dos quais prismas são um dos muitos tipos comuns e um número infinito de tipos teóricos.
O Mundo dos Poliedros
"Poliedro" talvez soe como um monstro do mundo da mitologia grega. Na verdade, a parte "grega" disso está correta: a palavra poliedro (singular
Um poliedro é qualquer sólido tridimensional que consiste em faces planas. A face sobre a qual um poliedro é representado "descansando" é sua base, que pode ser idêntica a todas, algumas ou nenhuma das outras faces. O exemplo mais simples é um pirâmide, que tem quatro faces triangulares. Um cubo tem seis faces idênticas e é um caso especial de um cubóide, que é qualquer figura de seis lados que consiste em ângulos retos.
O que é um prisma?
UMA prisma é um poliedro que poderia ter sido criado "empurrando" um polígono, ou figura bidimensional com três ou mais ângulos, em linha reta através do espaço para formar duas extremidades e conectá-las usando tantos planos paralelos quantos os lados do prisma. O prisma mais simples consiste em dois triângulos equiláteros com suas faces paralelas entre si e separados por três faces retangulares idênticas orientadas em ângulos de 60 graus para seus vizinhos rostos.
UMA prisma pentagonal a mesma coisa se expandiu para incluir dois ângulos adicionais e mais duas faces. Portanto, inclui duas bases pentagonais e cinco lados retangulares. Portanto, é um heptaedro, porque tem sete lados (hepta- é um prefixo Grrek que significa "sete").
Área de um Pentágono
A área de qualquer polígono regular (ou seja, aquele em que todos os ângulos e lados são idênticos) com o comprimento do lado s pode ser encontrado na fórmula:
A = (n) (s2) / [4 tan (180 / n)]
Para um pentágono (n = 5), isso se reduz a:
A = 5s2/2,91 = 1,72s2
Área de um Prisma Pentagonal
Se você fosse "desdobrar" ou "achatar" um prisma pentagonal feito de papelão, ficaria com duas faces pentagonais idênticas (as bases do prisma) e cinco faces retangulares idênticas.
Dois lados de cada retângulo são compartilhados com os lados dos pentágonos; chame este comprimento s. Se você chamar de rótulo os outros dois lados (que podem ser tão curtos ou longos quanto você quiser, pelo menos em teoria) h, então a área de cada lado retangular é sh, e a área de todos os lados combinados é 5sh.
Existem duas faces pentagonais, então a área total de um prisma pentagonal é:
A = 5 (sh) + 2 (1,72s2) = 5 (sh) + 3,44s2
Volume de um prisma pentagonal
Para qualquer prisma padrão, o volume é apenas a área da base vezes a altura. Isso significa multiplicar 1,72s2, o valor para a área de um pentágono da equação anterior, pela altura h em quaisquer unidades que você esteja usando. A fórmula do volume é:
V = 1.72s2h
Por exemplo, se você tem um grande prisma pentagonal com altura de 30 cm (0,3 m) e lados de 10 cm (0,1 m), a área é:
A = 5 (sh) + 2 (1,72s2) = 5 (0,3 m) (0,1 m) + 2 (1,72) (0,1 m)2
= 0,15 + 0,0344 = 0,1844 m2
O volume é dado por:
V = (1,72) (0,1 m)2(0,3 m) = 0,00516 = 5,16 × 10-3 m3