Quando você "eleva um número a uma potência", está multiplicando o número por ele mesmo, e a "potência" representa quantas vezes você faz isso. Portanto, 2 elevado à 3ª potência é o mesmo que 2 x 2 x 2, que é igual a 8. Quando você eleva um número a uma fração, entretanto, você está indo na direção oposta - você está tentando encontrar a "raiz" do número.
Terminologia
O termo matemático para elevar um número a uma potência é "exponenciação". Uma expressão exponencial tem duas partes: a base, que é o número que você está aumentando e o expoente, que é o "poder". Então, quando você eleva 2 à 3ª potência, a base é 2 e o expoente é 3. Elevar a base à 2ª potência é comumente chamado de quadratura da base, enquanto elevá-la à 3ª potência é comumente chamado de cubar a base. Os matemáticos geralmente escrevem expressões exponenciais com o expoente em sobrescrito - isto é, como um pequeno número no canto superior direito da base. Como alguns computadores, calculadoras e outros dispositivos não lidam com o sobrescrito muito bem, as expressões exponenciais também são comumente escritas assim: 2 ^ 3. O acento circunflexo - o símbolo apontando para cima - informa que o que se segue é o expoente.
Raízes
Em matemática, "raízes" são um pouco como expoentes ao contrário. Por exemplo, leve "2 à 4ª potência", abreviado como 2 ^ 4. Isso é igual a 2 x 2 x 2 x 2 ou 16. Como 2 multiplicado por ele mesmo quatro vezes é igual a 16, a "quarta raiz" de 16 é 2. Agora olhe para o número 729. Isso se divide em 9 x 9 x 9 - então, 9 é a terceira raiz de 729. Ele também se divide em 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 - então, 3 é a 6ª raiz de 729. A 2ª raiz de um número é comumente chamada de raiz quadrada, e a terceira raiz é o raiz cúbica.
Expoentes Fracionários
Quando o expoente é uma fração, você está procurando uma raiz da base. A raiz corresponde ao denominador da fração. Por exemplo, considere "125 elevado a 1/3 da potência" ou 125 ^ 1/3. O denominador da fração é 3, então você está procurando a terceira raiz (ou raiz cúbica) de 125. Como 5 x 5 x 5 = 125, a terceira raiz de 125 é 5. Assim, 125 ^ 1/3 = 5. Agora tente 256 ^ 1/4. Você está procurando a 4ª raiz de 256. Como 4 x 4 x 4 x 4 = 256, a resposta é 4.
Numeradores diferentes de 1
O expoentes fracionários discutidos até este ponto - 1/3 e 1/4 - cada um teve um numerador de 1. Se o numerador for diferente de 1, o expoente está, na verdade, instruindo você a realizar duas operações: encontrar uma raiz e elevar a uma potência. Por exemplo, pegue 8 ^ 2/3. O denominador "3" indica que você está procurando uma raiz cúbica; o numerador "2" indica que você estará subindo para a 2ª potência. Não importa qual operação você executa primeiro. Você obterá o mesmo resultado de qualquer maneira. Portanto, você poderia começar tirando a 3ª raiz de 8, que é 2, e depois elevando-a à 2ª potência, o que lhe daria 4. Ou você pode começar elevando 8 à 2ª potência, que é igual a 64, e obter a 3ª raiz desse número, que é 4. Mesmo resultado.
Uma regra universal
Na verdade, a regra de "numerador como potência, denominador como raiz" se aplica a todos os expoentes - mesmo expoentes de número inteiro e expoentes fracionários com um numerador de 1. Por exemplo, o número inteiro 2 é o equivalente à fração 2/1. Portanto, a expressão exponencial 9 ^ 2 é "realmente" 9 ^ 2/1. Aumentar 9 à 2ª potência dá 81. Agora você precisa obter a "1ª raiz" de 81. Mas a primeira raiz de qualquer número é o próprio número, então a resposta permanece 81. Agora observe a expressão 9 ^ 1/2. Você pode começar elevando 9 à "1ª potência". Mas qualquer número elevado à 1ª potência é o próprio número. Portanto, tudo o que você precisa fazer é obter a raiz quadrada de 9, que é 3. A regra ainda se aplica, mas nessas situações, você pode pular uma etapa.