Você não pode resolver uma equação que contém uma fração com um denominador irracional, o que significa que o denominador contém um termo com um sinal radical. Isso inclui raízes quadradas, cúbicas e superiores. Livrar-se do sinal radical é denominado racionalizar o denominador. Quando o denominador tem um termo, você pode fazer isso multiplicando os termos superior e inferior pelo radical. Quando o denominador tem dois termos, o procedimento é um pouco mais complicado. Você multiplica o topo e o fundo pelo conjugado do denominador e expande simplesmente o numerador.
TL; DR (muito longo; Não li)
Para racionalizar uma fração, você deve multiplicar o numerador e o denominador por um número ou expressão que elimine os sinais radicais no denominador.
Racionalizando uma Fração com Um Termo no Denominador
Uma fração com raiz quadrada de um único termo no denominador é a mais fácil de racionalizar. Em geral, a fração assume a formauma / √x. Você racionaliza multiplicando o numerador e o denominador por √x.
\ frac {\ sqrt {x}} {\ sqrt {x}} × \ frac {a} {\ sqrt {x}} = \ frac {a \ sqrt {x}} {x}
Como tudo o que você fez foi multiplicar a fração por 1, seu valor não mudou.
Exemplo:
Racionalizar
\ frac {12} {\ sqrt {6}}
Multiplique o numerador e o denominador por √6 para obter
\ frac {12 \ sqrt {6}} {6}
Você pode simplificar dividindo 6 por 12 para obter 2, então a forma simplificada da fração racionalizada é
2 \ sqrt {6}
Racionalizando uma Fração com Dois Termos no Denominador
Suponha que você tenha uma fração no formulário
\ frac {a + b} {\ sqrt {x} + \ sqrt {y}}
Você pode se livrar do sinal radical no denominador multiplicando a expressão pelo seu conjugado. Para um binômio geral do formuláriox + y, o conjugado éx − y. Quando você os multiplica, você obtémx2 − y2. Aplicando esta técnica à fração generalizada acima:
\ frac {a + b} {\ sqrt {x} + \ sqrt {y}} × \ frac {\ sqrt {x} - \ sqrt {y}} {\ sqrt {x} - \ sqrt {y}} \ \ \, \\ (a + b) × \ frac {\ sqrt {x} - \ sqrt {y}} {x - y}
Expanda o numerador para obter
\ frac {a \ sqrt {x} -a \ sqrt {y} + b \ sqrt {x} - b \ sqrt {y}} {x - y}
Essa expressão se torna menos complicada quando você substitui alguns ou todas as variáveis por inteiros.
Exemplo:
Racionalize o denominador da fração
\ frac {3} {1 - \ sqrt {y}}
O conjugado do denominador é 1 - (−√y) = 1+ √y. Multiplique o numerador e o denominador por esta expressão e simplifique:
\ frac {3 × (1 + \ sqrt {y})} {1 - y} \\ \, \\ \ frac {3 + 3 \ sqrt {y}} {1 - y}
Racionalizando as raízes do cubo
Quando você tem uma raiz cúbica no denominador, você deve multiplicar o numerador e o denominador pelo raiz cúbica do quadrado do número sob o sinal do radical para se livrar do sinal do radical no denominador. Em geral, se você tiver uma fração no formuláriouma / 3√x, multiplique superior e inferior por 3√x2.
Exemplo:
Racionalize o denominador:
\ frac {7} {\ sqrt [3] {x}}
Multiplique o numerador e o denominador por 3√x2 para obter
\ frac {7 × \ sqrt [3] {x ^ 2}} {\ sqrt [3] {x} × \ sqrt [3] {x ^ 2}} = \ frac {7 × \ sqrt [3] {x ^ 2}} {\ sqrt [3] {x ^ 3}} \\ \, \\ \ frac {7 \ sqrt [3] {x ^ 2}} {x}