Às vezes, a única maneira de fazer cálculos matemáticos é pela força bruta. Mas, de vez em quando, você pode economizar muito trabalho, reconhecendo problemas especiais que podem ser resolvidos por meio de uma fórmula padronizada. Encontrar a soma dos cubos e descobrir a diferença dos cubos são dois exemplos exatamente disso: Depois de conhecer as fórmulas para fatoraçãouma3 + b3 ouuma3 - b3, encontrar a resposta é tão fácil quanto substituir os valores de aeb na fórmula correta.
Colocando no contexto
Primeiro, uma rápida olhada em por que você pode querer encontrar - ou mais apropriadamente "fatorar" - as somas ou diferença de cubos. Quando o conceito é apresentado pela primeira vez, é um problema matemático simples por si só. Mas se você continuar estudando matemática, mais tarde isso se tornará uma etapa intermediária em cálculos mais complexos. Então, se você conseguiruma3 + b3 ouuma3 − b3 como uma resposta durante outros cálculos, você pode usar as habilidades que está prestes a aprender para quebrar os cubos números separados em componentes mais simples, o que muitas vezes torna mais fácil continuar a resolver o original problema.
Fatorando a soma dos cubos
Imagine que você chegou ao binômio
x ^ 3 + 27
e são solicitados a simplificá-lo. O primeiro termo,x3, é obviamente um número ao cubo. Após um pequeno exame, você pode ver que o segundo número também é na verdade um número ao cubo: 27 é o mesmo que 33. Agora que você sabe que os dois números são cubos, pode aplicar a fórmula para a soma dos cubos.
Escreva os dois números na forma de cubos, se ainda não for o caso. Para continuar este exemplo, você teria:
x ^ 3 + 27 = x ^ 3 + 3 ^ 3
Quando estiver acostumado com o processo, você pode pular esta etapa e ir direto para preencher os valores da Etapa 1 na fórmula. Mas, especialmente quando você está aprendendo, é melhor ir passo a passo e lembrar-se da fórmula:
a ^ 3 + b ^ 3 = (a + b) (a ^ 2 - ab + b ^ 2)
Compare o lado esquerdo desta equação com o resultado da Etapa 1. Observe que você pode substituirxno lugar deuma,e 3 no lugar deb.
Substitua os valores da Etapa 1 na fórmula da Etapa 2. Então você tem:
x ^ 3 + 3 ^ 3 = (x + 3) (x ^ 2 - 3x + 3 ^ 2)
Por enquanto, chegar ao lado direito da equação representa sua resposta. Este é o resultado da fatoração da soma de dois números ao cubo.
Fatorando a diferença de cubos
Fatorar a diferença de dois números ao cubo funciona da mesma maneira. Na verdade, a fórmula é quase idêntica à fórmula da soma dos cubos. Mas há uma diferença crítica: preste atenção especial para onde vai o sinal de menos.
Imagine que você pega o problema
y ^ 3 - 125
e tem que fatorá-lo. Como antes,y3 é um cubo óbvio e, com um pouco de reflexão, você será capaz de reconhecer que 125 é na verdade 53. Então você tem:
y ^ 3 - 125 = y ^ 3 - 5 ^ 3
Como antes, escreva a fórmula para a diferença de cubos. Observe que você pode substituiryparaumae 5 parab, e preste atenção especial para onde o sinal de menos vai nesta fórmula. A localização do sinal de menos é a única diferença entre esta fórmula e a fórmula da soma dos cubos.
a ^ 3 - b ^ 3 = (a - b) (a ^ 2 + ab + b ^ 2)
Escreva a fórmula novamente, desta vez substituindo os valores da Etapa 1. Isso produz:
y ^ 3 - 5 ^ 3 = (y - 5) (y ^ 2 + 5y + 5 ^ 2)
Novamente, se tudo o que você precisa fazer é fatorar a diferença dos cubos, esta é sua resposta.