Um número irracional não é tão assustador quanto parece; é apenas um número que não pode ser expresso como uma fração simples ou, dito de outra forma, um número irracional é um decimal sem fim que continua em um número infinito de casas após o ponto decimal. Você pode realizar a maioria das operações em números irracionais da mesma forma que faria com números racionais, mas quando se trata de obter raízes quadradas, você terá que aprender a aproximar o valor.
O que é um número irracional?
Então, o que é um número irracional, afinal? Você já deve estar familiarizado com dois números irracionais muito famosos: π ou "pi", que quase sempre é abreviado como 3,14, mas na verdade continua infinitamente à direita da vírgula decimal; e "e", também conhecido como número de Euler, que geralmente é abreviado como 2,71828, mas também continua infinitamente à direita da vírgula decimal.
Mas há muito mais números irracionais por aí, e esta é uma maneira fácil de identificar alguns deles: Se o número abaixo de um sinal de raiz quadrada não é um quadrado perfeito, então essa raiz quadrada é irracional número.
Isso é um bocado muito grande, então aqui está um exemplo para deixar isso claro. Também ajuda a lembrar que um quadrado perfeito é um número cuja raiz quadrada é um inteiro:
√8 é um número irracional?Se você memorizou seus quadrados perfeitos ou dedicou um tempo para procurá-los, você saberá que
\ sqrt {4} = 2 \ text {e} \ sqrt {9} = 3
Como √8 está entre esses dois números, mas não há nenhum inteiro entre 2 e 3 para ser sua raiz, √8 é irracional.
Tirando a raiz quadrada de um número irracional
Quando se trata de calcular a raiz quadrada de um número irracional, você tem duas opções. Coloque o número irracional em uma calculadora ou em uma calculadora online de raiz quadrada (consulte Recursos), caso em que a calculadora retornará um valor aproximado para você - ou você pode usar um processo de quatro etapas para estimar o valor você mesmo.
Exemplo 1:Estime o valor do número irracional √8.
Encontre os quadrados perfeitos que estariam em cada lado de √8 na reta numérica. Nesse caso, √4 = 2 e √9 = 3. Escolha aquele que estiver mais próximo do seu número de destino. Uma vez que 8 é muito mais próximo de 9 do que de 4, escolha
\ sqrt {9} = 3
Em seguida, divida o número cuja raiz você deseja - 8 - por sua estimativa. Continuando o exemplo, você tem:
\ frac {8} {3} = 2,67
Agora, encontre a média do resultado da Etapa 2 com o divisor da Etapa 2. Aqui, isso significa média de 3 e 2,67. Primeiro some os dois números e depois divida por dois:
3 + 2.67 = 5.6667
(Este é realmente o decimal repetido 5,66666666666, mas foi arredondado para quatro casas decimais por uma questão de brevidade.)
\ frac {5,6667} {2} = 2,83335
O resultado da Etapa 3 ainda não é exato, mas está se aproximando. Repita as etapas 2 e 3 conforme necessário, usando o resultado da etapa 3 como o novo divisor na etapa 2 sempre.
Para continuar o exemplo, você dividiria 8 pelo resultado da Etapa 3 (2,83335), que fornece:
\ frac {8} {2,83335} = 2,8235
(Novamente, arredondando para quatro casas decimais por uma questão de brevidade.)
Em seguida, você faria a média do resultado de sua divisão com o divisor, o que lhe dá:
2,83335 + 2,8235 = 5,65685 \\ \, \\ \ frac {5,65685} {2} = 2,828425
Você pode continuar esse processo, repetindo as etapas 2 e 3 conforme necessário, até que a resposta seja tão exata quanto você precisa.
E quanto às raízes quadradas irracionais?
Às vezes, em vez de encontrar a raiz quadrada de um número irracional, você precisa lidar com números irracionais que são expressos na forma de raiz quadrada - um dos mais famosos que você aprenderá é √2.
Não há muito que você possa fazer com √2, além de aproximar seu valor conforme descrito acima. Mas se você obtiver um número irracional maior na forma de raiz quadrada, às vezes você pode usar o fato de que
\ sqrt {cd} = \ sqrt {c} × \ sqrt {d}
para reescrever a resposta de uma forma mais simples.
Considere a raiz quadrada irracional √32. Embora não tenha uma raiz principal (ou seja, uma raiz inteira não negativa), você pode fatorá-la em algo com uma raiz principal familiar:
\ sqrt {32} = \ sqrt {16} × \ sqrt {2}
Você ainda não pode fazer muito com √2, mas √16 = 4, então você pode dar um passo adiante e escrever como
\ sqrt {32} = 4 \ sqrt {2}
Embora você não tenha eliminado totalmente o sinal do radical, simplificou esse número irracional ao mesmo tempo que preservou seu valor exato.