Em matemática, um radical é qualquer número que inclua o sinal de raiz (√). O número sob o sinal de raiz é uma raiz quadrada se nenhum sobrescrito precede o sinal de raiz, uma raiz cúbica é um sobrescrito 3 o precede (3√), uma quarta raiz se um 4 a preceder (4√) e assim por diante. Muitos radicais não podem ser simplificados, portanto, dividir por um requer técnicas algébricas especiais. Para fazer uso deles, lembre-se dessas igualdades algébricas:
\ sqrt {\ frac {a} {b}} = \ frac {\ sqrt {a}} {\ sqrt {b}}
\ sqrt {a × b} = \ sqrt {a} × \ sqrt {b}
Raiz quadrada numérica no denominador
Em geral, uma expressão com uma raiz quadrada numérica no denominador tem a seguinte aparência:
\ frac {a} {\ sqrt {b}}
Para simplificar essa fração, você racionaliza o denominador multiplicando toda a fração por √b/√b.
Porque
\ sqrt {b} × \ sqrt {b} = \ sqrt {b ^ 2} = b
a expressão se torna
\ frac {a \ sqrt {b}} {b}
Exemplos:
1. Racionalize o denominador da fração
\ frac {5} {\ sqrt {6}}
Solução:Multiplique a fração por √6 / √6
\ frac {5 \ sqrt {6}} {\ sqrt {6} \ sqrt {6}} \\ \, \\ \ frac {5 \ sqrt {6}} {6} \ text {ou} \ frac {5 } {6} × \ sqrt {6}
2. Simplifique a fração
\ frac {6 \ sqrt {32}} {3 \ sqrt {8}}
Solução:Nesse caso, você pode simplificar dividindo os números fora do sinal radical e aqueles dentro dele em duas operações separadas:
\ frac {6} {3} = 2 \\ \, \\ \ frac {\ sqrt {32}} {\ sqrt {8}} = \ sqrt {4} = 2
A expressão se reduz a
2 × 2 = 4
Dividindo por raízes de cubo
O mesmo procedimento geral se aplica quando o radical no denominador é um cubo, quarta raiz ou raiz superior. Para racionalizar um denominador com raiz cúbica, você deve procurar um número que, quando multiplicado pelo número sob o sinal do radical, produz um terceiro número de potência que pode ser retirado. Em geral, racionalize o número
\ frac {a} {\ sqrt [3] {b}} \ text {multiplicando por} \ frac {\ sqrt [3] {b ^ 2}} {\ sqrt [3] {b ^ 2}}
Exemplo:
1. Racionalizar
\ frac {5} {\ sqrt [3] {5}}
Multiplique o numerador e o denominador por 3√25.
\ frac {5 × \ sqrt [3] {25}} {\ sqrt [3] {5} × \ sqrt [3] {25}} \\ \, \\ = \ frac {5 \ sqrt [3] { 25}} {\ sqrt [3] {125}} \\ \, \\ = \ frac {5 \ sqrt [3] {25}} {5}
Os números fora do sinal do radical cancelam e a resposta é
\ sqrt [3] {25}
Variáveis com dois termos no denominador
Quando um radical no denominador inclui dois termos, geralmente você pode simplificá-lo multiplicando por seu conjugado. O conjugado inclui os mesmos dois termos, mas você inverte o sinal entre eles. Por exemplo, o conjugado de
x + y \ text {is} x - y
Quando você os multiplica, você obtém
x ^ 2 - y ^ 2
Exemplo:
1. Racionalize o denominador de
\ frac {4} {x + \ sqrt {3}}
Solução: Multiplique superior e inferior por x - √3
\ frac {4 (x - \ sqrt {3})} {(x + \ sqrt {3}) (x - \ sqrt {3})}
Simplificar:
\ frac {4x - 4 \ sqrt {3}} {x ^ 2 - 3}