Só faz sentido converter um ângulo (ø) em uma distância (d) quando a distância em questão está na circunferência de um círculo ou na superfície de uma esfera. Quando for o caso, use a equação ø = d / r - onde r é o raio do círculo ou esfera. Isso fornece um valor em radianos, que é fácil de converter em graus. Se você conhece o ângulo em graus e deseja encontrar o comprimento do arco, converta o ângulo em radianos e use a expressão inversa: d = ø • r. Para obter a distância em unidades inglesas, você deve expressar o raio em unidades inglesas. Da mesma forma, você deve expressar o raio em unidades métricas para obter a distância em quilômetros, metros, centímetros ou milímetros.
Medindo ângulos em radianos
Um radiano é uma medida angular baseada no comprimento do raio de um círculo ou esfera. O raio é uma linha desenhada do centro do círculo até um ponto A em sua circunferência ou em seu perímetro se for uma esfera. Quando uma linha radial se move do ponto A para outro ponto B na circunferência, ela traça um arco de comprimento d enquanto, ao mesmo tempo, traça um ângulo ø no ponto central do círculo.
Por definição, um radiano é o ângulo que você traça quando o comprimento do arco do ponto A ao ponto B é igual ao comprimento do raio. Em geral, você determina a magnitude de qualquer ângulo ø em radianos dividindo o comprimento do arco traçado pelas linhas de radianos entre dois pontos pelo raio. Esta é a expressão matemática: ø (radianos) = d / r. Para que esta expressão funcione, você deve expressar o comprimento do arco e o raio nas mesmas unidades.
Por exemplo, suponha que você queira determinar o ângulo do arco traçado por linhas radiais que se estendem do centro da Terra até São Francisco e Nova York. Essas duas cidades estão separadas por 2.572 milhas (4.139 quilômetros) e o raio equatorial da Terra é de 3.963 milhas (6.378 quilômetros). Podemos encontrar o ângulo usando as unidades métricas ou inglesas, desde que as usemos consistentemente: 2.572 milhas / 3.963 milhas = 4.139 km / 6.378 km = 0,649 radianos.
Radianos em graus
Podemos derivar um fator simples para converter de radianos em graus observando que um círculo tem 360 graus e que a circunferência do círculo tem 2πr unidades de comprimento. Quando uma linha radial traça um círculo inteiro, o comprimento do arco é 2πr / r = 2π e, como a linha traça um ângulo de 360 graus, sabemos que 360 graus = 2π radianos. Dividindo ambos os lados desta equação por 2, obtemos:
- 180 graus = π radianos
Isso significa que 1 grau = π / 180 radianos e 1 radiano = 180 / π graus.
Graus de conversão em comprimento de arco
Precisamos de uma informação importante antes de convertermos os graus em comprimento de arco, que é o raio do círculo ou esfera em que medimos o arco. Depois de sabermos disso, a conversão é simples. Este é o procedimento de duas etapas:
- Converta graus em radianos.
- Multiplique pelo raio para obter o comprimento do arco nas mesmas unidades.
Se você conhece o raio em polegadas e deseja o comprimento do arco em milímetros, deve primeiro converter o raio em milímetros.
Um exemplo de círculo de 50 polegadas
Neste exemplo, você deseja determinar o comprimento do arco - em milímetros - no circunferência de um círculo com diâmetro de 50 polegadas traçada por um par de linhas que formam um ângulo de 30 graus.
- Comece convertendo o ângulo em radianos. 30 graus = 30π / 180 radianos. Como π é igual a aproximadamente 3,14, obtemos 0,523 radianos.
- Lembre-se de que o raio de um círculo tem a metade de seu diâmetro. Nesse caso, r = 25 polegadas.
- Converta o raio em unidades alvo - milímetros - usando a conversão 1 polegada = 25,4 milímetros. Obtemos 25 polegadas = 635 milímetros.
- Multiplique o raio pelo ângulo em radianos para obter o comprimento do arco. 635 mm • 0,523 radianos = 332,1 mm.