Ocomprimento do arcode um círculo é a distância ao longo do lado externo desse círculo entre dois pontos especificados. Se você andasse um quarto do caminho ao redor de um grande círculo e conhecesse a circunferência do círculo, o comprimento do arco da seção que você andou seria simplesmente a circunferência do círculo, 2πr, dividido por quatro. A distância em linha reta através do círculo entre esses pontos, por sua vez, é chamada de corda.
Se você conhece a medida do ângulo centralθ, que é o ângulo entre as linhas que se originam no centro do círculo e se conectam às extremidades do arco, você pode calcular facilmente o comprimento do arco:
L = \ frac {θ} {360} × 2πr
O comprimento do arco sem ângulo
Às vezes, no entanto, você não recebeθ. Mas se você souber a duração do acorde associadoc, você pode calcular o comprimento do arco mesmo sem essas informações, usando a seguinte fórmula:
c = 2r \ sin \ bigg (\ frac {θ} {2} \ bigg)
As etapas abaixo assumem um círculo com um raio de 5 metros e uma corda de 2 metros.
Resolva a equação de acordes paraθ
Divida cada lado por 2r(que é igual ao diâmetro do círculo). Isto dá
\ frac {c} {2r} = \ sin \ bigg (\ frac {θ} {2} \ bigg)
Neste exemplo
\ frac {c} {2r} = \ frac {2} {2 × 5} = 0,2
Encontre o Seno Inverso de (θ/2)
Já que você agora tem
0,2 = \ sin \ bigg (\ frac {θ} {2} \ bigg)
você deve encontrar o ângulo que produz esse valor de seno.
Use a função ARCSIN de sua calculadora, frequentemente denominada SIN-1, para fazer isso ou consulte também a calculadora de tabelas rápidas (consulte Recursos).
\ sin ^ {- 1} (0,2) = 11,54 = \ frac {θ} {2} \\ \ implica θ = 23,08
Resolva para o comprimento do arco
Voltando à equação
L = \ frac {θ} {360} × 2πr
insira os valores conhecidos:
L = \ frac {23,08} {360} × 2π × 5 \ text {metros} \\ \, \\ = 0,0641 × 31,42 = 2,014 \ text {metros}
Observe que para comprimentos de arco relativamente curtos, o comprimento da corda será muito próximo ao comprimento do arco, como uma inspeção visual sugere.