Os círculos estão em toda parte no mundo real, e é por isso que seus raios, diâmetros e circunferência são importantes em aplicações da vida real. Mas há outras partes dos círculos - setores e ângulos, por exemplo - que também têm importância nas aplicações do dia-a-dia. Os exemplos incluem tamanhos de setor de alimentos circulares, como bolos e tortas, o ângulo percorrido em uma roda gigante, o dimensionamento de um pneu para um veículo específico e, especialmente, o dimensionamento de um anel para um engate ou Casamento. Por essas e outras razões, a geometria também tem equações e cálculos de problemas que tratam de ângulos centrais, arcos e setores de um círculo.
Qual é o ângulo central?
O ângulo central é definido como o ângulo criado por dois raios ou raios que irradiam do centro de um círculo, com o centro do círculo sendo o vértice do ângulo central. Os ângulos centrais são particularmente relevantes quando se trata de dividir igualmente pizza ou qualquer outro alimento circular entre um determinado número de pessoas. Digamos que haja cinco pessoas em um sarau onde uma pizza grande e um bolo grande serão compartilhados. Qual é o ângulo em que a pizza e o bolo devem ser divididos para garantir uma fatia igual para todos? Uma vez que existem 360 graus em um círculo, o cálculo torna-se 360 graus dividido por 5 para chegar a 72 graus, de modo que cada fatia, seja da pizza ou do bolo, terá um ângulo central, ou teta (θ), medindo 72 graus.
Determinando o ângulo central a partir do comprimento do arco
Um arco do círculo se refere a uma "porção" da circunferência do círculo. O comprimento do arco, portanto, é o comprimento dessa "parte". Se você imaginar uma fatia de pizza, a área do setor pode ser visualizado como a fatia inteira de pizza, mas o comprimento do arco é o comprimento da borda externa da crosta para que fatia particular. A partir do comprimento do arco, o ângulo central pode ser calculado. Na verdade, uma fórmula que pode ajudar a determinar o ângulo central afirma que o (s) comprimento (s) do arco são iguais ao raio vezes o ângulo central, ou
s = r × θ
onde o ângulo, teta, deve ser medido em radianos. Então, para resolver o ângulo central, teta, basta dividir o comprimento do arco pelo raio, ou
\ frac {s} {r} = θ
Para ilustrar, se o comprimento do arco é 5,9 e o raio é 3,5329, então o ângulo central torna-se 1,67 radianos. Outro exemplo é se o comprimento do arco for 2 e o raio for 2, o ângulo central torna-se 1 radiano. Se você deseja converter radianos em graus, lembre-se de que 1 radiano é igual a 180 graus dividido por π, ou 57,2958 graus. Por outro lado, se uma equação pede para converter os graus de volta em radianos, então primeiro multiplique por π e, em seguida, divida por 180 graus.
Determinando o Ângulo Central da Área do Setor
Outra fórmula útil para determinar o ângulo central é fornecida pela área do setor, que novamente pode ser visualizada como uma fatia de pizza. Essa fórmula específica pode ser vista de duas maneiras. O primeiro tem o ângulo central medido em graus para que a área do setor seja igual a π vezes o raio ao quadrado e então multiplicado pela quantidade do ângulo central em graus dividido por 360 graus. Em outras palavras:
πr ^ 2 × \ frac {\ text {ângulo central em graus}} {360 \ text {degrees}} = \ text {área do setor}
Se o ângulo central for medido em radianos, a fórmula se tornará:
\ text {área do setor} = r ^ 2 × \ frac {\ text {ângulo central em radianos}} {2}
Reorganizar as fórmulas ajudará a resolver o valor do ângulo central, ou teta. Considere uma área de setor de 52,3 centímetros quadrados com um raio de 10 centímetros. Qual seria seu ângulo central em graus? Os cálculos começariam com uma área de setor de 52,3 centímetros quadrados sendo igual a:
\ frac {θ} {360 \ texto {graus}} × πr ^ 2
Desde o raio (r) é igual a 10, toda a equação pode ser escrita como:
\ frac {52,3} {100π} × 360
para que theta possa ser escrito como:
\ frac {52,3} {314} × 360
Assim, a resposta final torna-se um ângulo central de 60 graus.