Multiplicação e adição são funções matemáticas relacionadas. Adicionar o mesmo número várias vezes produzirá o mesmo resultado que multiplicar o número pelo número de vezes que a adição foi repetida, de modo que 2 + 2 + 2 = 2 × 3 = 6. Essa relação é ainda ilustrada por semelhanças entre as propriedades associativas e comutativas da multiplicação e as propriedades associativas e comutativas da adição. Essas propriedades dizem que a ordem dos números em um número de adição ou multiplicação não altera o resultado da equação. É importante notar que essas propriedades só se aplicam a adição e multiplicação e não a subtração ou divisão, onde mudar a ordem dos números na equação mudará o resultado.
Propriedade Comutativa de Multiplicação
Ao multiplicar dois números, inverter a ordem dos números na equação resulta no mesmo produto. Isso é conhecido como propriedade comutativa da multiplicação e é bastante semelhante à propriedade associativa da adição. Por exemplo, multiplicar três por seis é igual a seis vezes três (3 × 6 = 6 × 3 = 18). Expressa em termos algébricos, a propriedade comutativa é:
a × b = b × a
ou simplesmente
ab = ba
Propriedade associativa de multiplicação
A propriedade associativa da multiplicação pode ser vista como uma extensão da propriedade comutativa da multiplicação e é paralela à propriedade associativa da adição. Ao multiplicar mais de dois números, alterar a ordem em que os números são multiplicados ou como eles são agrupados resulta no mesmo produto. Por exemplo, (3 × 4) × 2 = 12 × 2 = 24. Mudar a ordem de multiplicação para 3 × (4 × 2) produz 3 × 8 = 24. Em termos algébricos, a propriedade associativa pode ser descrita como:
(a + b) + c = a + (b + c)
Propriedade comutativa de adição
Pode ser útil lembrar as propriedades associativas e comutativas da adição em referência às propriedades associativas e comutativas da multiplicação. De acordo com a propriedade comutativa da adição, dois números somados resultam na mesma soma, independentemente de serem somados para frente ou para trás. Em outras palavras, dois mais seis é igual a oito e seis mais dois também é igual a oito (2 + 6 = 6 + 2 = 8) e é uma reminiscência da propriedade comutativa da multiplicação. Novamente, isso pode ser expresso algebricamente como
a + b = b + a
Propriedade associativa de adição
Na propriedade associativa de adição, a ordem em que mais de três ou mais conjuntos de números são somados não altera a soma dos números. Assim, (1 + 2) + 3 = 3 + 3 = 6. Assim como na propriedade associativa da multiplicação, mudar a ordem não muda o resultado, pois 1 + (2 + 3) = 1 + 5 = 6. Algebricamente, a propriedade associativa de adição é
(a + b) + c = a + (b + c)