Vetores e escalares: o que são e por que são importantes?

Na vida cotidiana, a maioria das pessoas usa os termosRapidezevelocidadeindistintamente, mas para os físicos, eles são exemplos de dois tipos muito diferentes de quantidade.

Os problemas de mecânica lidam com o movimento de objetos e, embora você possa apenas descrever o movimento em termos de velocidade, a direção específica em que algo está indo costuma ser criticamente importante.

Da mesma forma, as forças aplicadas aos objetos podem vir de muitas direções diferentes - pense sobre os puxões opostos em um cabo de guerra, por exemplo - então físicos que descrevem situações como esta precisam usar quantidades que descrevam tanto o "tamanho" de coisas como forças e a direção em que elas agir. Essas quantidades são chamadasvetores​.

TL; DR (muito longo; Não li)

Um vetor tem uma magnitude e uma direção específica, mas uma grandeza escalar só tem uma magnitude.

A principal diferença entre vetores e escalares é que a magnitude de um vetor não o descreve inteiramente; também precisa haver uma direção definida.

A direção de um vetor pode ser declarada de várias maneiras, seja por sinais positivos ou negativos na frente dele, expressando-se na forma de componentes (valores escalares próximos ao apropriado​eu​​, ​​j​e​k​“Vetor unitário”, que corresponde às coordenadas cartesianas dex​, ​yez, respectivamente), adicionando um ângulo em relação a uma direção declarada (por exemplo, "60 graus a partir dox-eixo ”) ou simplesmente adicionando algumas palavras para descrever a direção (por exemplo,“ noroeste ”).

Em contraste, um escalar é apenas a magnitude do vetor, sem qualquer notação ou informação adicional fornecida - por exemplo, a velocidade é um escalar equivalente do vetor velocidade. De uma perspectiva matemática, é o valor absoluto do vetor.

No entanto, muitas quantidades, como energia, pressão, comprimento, massa, potência e temperatura são exemplos de escalares que não são apenas a magnitude de um vetor correspondente. Você não precisa saber a "direção" da massa, por exemplo, para ter uma imagem completa dela como uma propriedade física.

Existem alguns fatos contra-intuitivos que você pode entender quando sabe a diferença entre um escalar e um vetor, como a ideia de que algo poderia ter uma velocidade constante, mas em constante mudança velocidade. Imagine um carro dirigindo a uma velocidade constante de 10 km / h, mas em círculo. Como a direção de um vetor é parte de sua definição, o vetor de velocidade do carro é sempre mudando neste exemplo, apesar do fato de que a magnitude do vetor (ou seja, sua velocidade) é constante.

Existem muitos exemplos de vetores na física, mas alguns dos exemplos mais conhecidos são a força, o momento, a aceleração e a velocidade, todos fortemente caracterizados pela física clássica. Um vetor de velocidade pode ser exibido como 25 m / s para o leste, -8 km / h noy-direção,​v​= 5 m / seu+ 10 m / sj, ou 10 m / s em uma direção de 50 graus dox-eixo.

Os vetores momentum são outro exemplo que você pode usar para ver como a magnitude e a direção do vetor são exibidas na física. Eles funcionam exatamente como os exemplos de vetor de velocidade, com 50 kg m / s a ​​oeste, -12 km / h nozdireção,​p​= 12 kg m / seu- 10 kg m / sj- 15 kg m / ske 100 kg m / s 30 graus dox-eixo sendo exemplos de como eles podem ser exibidos. Os mesmos pontos básicos valem para a exibição de vetores de aceleração, com a única diferença sendo a unidade de m / s² e o símbolo comumente usado para o vetor,​uma​​.

Força é o último desses exemplos de expressões vetoriais, e embora haja muitas semelhanças, usando coordenadas cilíndricas (r​, ​θ​, ​z) em vez de coordenadas cartesianas podem ajudar a mostrar outras maneiras de exibi-las. Por exemplo, você pode escrever uma força como​F​= 10 Nr+ 35 N𝛉, para uma força com componentes na direção radial e na direção azimutal, ou descreva a força da gravidade em um objeto de 1 kg na Terra como 10 N no -rdireção (ou seja, em direção ao centro do planeta).

Nos diagramas, os vetores são exibidos por meio de setas, com a magnitude do vetor representada pelo comprimento da seta e sua direção representada pela direção para a qual a seta aponta. Por exemplo, uma seta maior mostra que uma força é maior (ou seja, mais newtons ou uma magnitude maior) do que outra força.

Para um vetor que mostra movimento, como o momento ou o vetor de velocidade, ovetor zero(ou seja, um vetor que não representa velocidade ou momento) é exibido usando um único ponto.

É importante notar que, porque o comprimento da seta representa a magnitude do vetor e sua orientação representa a direção do vetor. É útil tentar ser razoavelmente preciso ao fazer um diagrama vetorial. Não precisa ser perfeito, mas se o vetor​uma​é duas vezes maior que o vetor​b​, a seta deve ter aproximadamente o dobro do comprimento.

A adição e subtração de vetores são um pouco mais complicadas do que adicionar e subtrair escalares, mas você pode aprender os conceitos facilmente. Existem duas abordagens principais que você pode usar e cada uma tem usos potenciais, dependendo do problema específico que você está enfrentando.

O primeiro, e o mais fácil de usar quando você tem dois vetores em forma de componente, é simplesmente adicionar componentes correspondentes da mesma forma que você adicionaria escalares comuns. Por exemplo, se você precisar adicionar as duas forças​F​​₁ = 5 Neu+ 10 Nje​F​​₂ = 6 Neu+ 15 Nj+ 10 Nk, você adicionaria oeucomponentes, então ojcomponentes e, finalmente, okcomponentes da seguinte forma:

A subtração de vetores funciona exatamente da mesma maneira, exceto que você subtrai as quantidades em vez de adicioná-las. A adição de vetores também é comutativa, como a adição comum com números reais, então​uma ​​+ ​​b​​ = ​​b​​ + ​​uma​​.

Você também pode realizar a adição de vetores usando diagramas de seta, posicionando as setas de vetor de ponta a ponta e, em seguida, desenhar uma nova seta vetorial para a soma dos vetores conectando a cauda da primeira seta com a ponta do segundo.

Se você tiver uma adição de vetor simples com um nox-direcção e outra nay-direction, o diagrama forma um triângulo retângulo. Você pode completar a adição do vetor e determinar a magnitude e a direção do vetor resultante "resolvendo" o triângulo usando trigonometria e o teorema de Pitágoras.

Multiplicar vetores é um pouco mais complicado do que a multiplicação escalar para números reais, mas as duas formas principais de multiplicação são o produto escalar e o produto vetorial. O produto escalar é chamado de produto escalar e é definido como:

ou

Ondeθé o ângulo entre os dois vetores, e os subscritos 1, 2 e 3 representam a primeira, a segunda e a terceira componentes do vetor. O resultado do produto escalar é um escalar.

O produto vetorial é definido como:

com as vírgulas separando os componentes do resultado em diferentes direções.