Os físicos comparam os momentos de inércia de objetos em rotação para determinar quais serão mais difíceis de acelerar ou desacelerar. Isso se aplica a situações do mundo real, como descobrir quais objetos rolarão mais rápido em uma corrida.
Os fatores que alteram o momento de inércia de um objeto são sua massa, como essa massa é distribuída - determinada por sua forma e raio - e o eixo de rotação sobre o qual ela gira.
Momentos de inércia para objetos comuns
Este diagrama mostra as equações do momento de inércia para várias formas comuns girando em torno de diferentes eixos de rotação.
Comparando momentos de inércia
Aqui estão alguns exemplos de problemas de física que requerem o uso de momentos de inércia para comparar vários objetos.
1. Qual das seguintes opções será a mais fácil de começar a girar: uma esfera oca de 7 kg de raio de 0,2 m ou uma esfera sólida de 10 kg com o mesmo raio?
Comece encontrando os momentos de inércia de cada objeto. De acordo com a tabela, a equação para umEsfera ocaé:I = 2 / 3mr2, e a equação para umesfera sólidaéI = 2 / 5mr2.
Substituindo as massas e raios dados:
Esfera oca: I = 2/3 (7kg) (0,2m)2 = 0.19 kgm2
Sólido esfera: I = 2/5 (10kg) (0,2m)2 = 0.16 kgm2
O momento de inércia émenor para a esfera sólidaentão serámais fácil para começar a girar.
2. De que forma é mais difícil girar um lápis: em torno de seu comprimento, em torno de seu centro ou ponta a ponta? Suponha que o lápis tenha um comprimento de 10 cm (0,1 m) e um raio de seção transversal de 3 mm (0,003 m).
Nesse caso, a massa do lápis não importa na comparação, pois não muda.
Para determinar quais equações se aplicam, aproxime a forma de um lápis como um cilindro.
Então, as três equações de momento de inércia necessárias são:
Cilindro sobre seu comprimento(o eixo passa por tudo, da ponta à borracha, então o raio ao eixo de rotaçãoéseu raio transversal):
I = \ frac {1} {2} mr ^ 2 = \ frac {1} {2} m (0,003) ^ 2 = 0,0000045m
Cilindro em torno de seu centro(mantido no meio, então o raio de sua rotação émetade do seu comprimento):
I = \ frac {1} {12} mr ^ 2 = \ frac {1} {12} m (0,05) ^ 2 = 0,0002083m
Cilindro em torno de sua extremidade(segurado pela ponta ou borracha, de modo que o raio ao eixo de rotaçãoéseu comprimento):
I = \ frac {1} {3} mr ^ 2 = \ frac {1} {3} m (0,1) ^ 2 = 0,003333m
Quanto mais alto o momento de inércia de um objeto, mais difícil é iniciar (ou parar) sua rotação.Uma vez que cada valor é multiplicado pelo mesmom, quanto maior o valor da fração multiplicado por r2, maior será o momento de inércia. Neste caso 0,0033333> 0,0002083> 0,0000045, então émais difícil girar um lápis sobre sua extremidadedo que em torno dos outros dois eixos.
3. Qual objeto alcançará o fundo de uma rampa primeiro se todos eles tiverem a mesma massa e raio e forem liberados do topo ao mesmo tempo: um arco, um cilindro ou uma esfera sólida? Ignore o atrito.
A chave para responder a este problema é aplicar uma compreensão deconservação de energia. Se todos os objetos têm a mesma massa e começam na mesma altura, eles devem começar com a mesma quantidade deenergia potencial gravitacional. Isto é oenergia totaleles têm disponíveis para converter em energia cinética e descer a rampa.
Como os objetos irão rolar pela rampa, eles devem estar convertendo sua energia potencial inicial em ambosenergias cinéticas rotacionais e lineares.
Aqui está o problema: quanto mais energia dessa torta total, o objeto leva paracomece a girar, menos ele terá disponível paramovimento linear. Que significaquanto mais fácil for fazer um objeto rolar, mais rápido ele se moverá linearmente pela rampa, vencendo a corrida.
Então, como todas as massas e raios são iguais, simplesmente comparar as frações na frente de cada equação de momento de inércia revela a resposta:
Esfera sólida: I =2/5Sr2
Aro em torno de um eixo: I = senhor2
Cilindro sólido sobre seu comprimento: I =1/2Sr2
Do menor ao maior momento de inércia e, portanto,do primeiro ao último para chegar ao fundo: esfera, cilindro, arco.