As equações cinemáticas descrevem o movimento de um objeto em aceleração constante. Essas equações relacionam as variáveis de tempo, posição, velocidade e aceleração de um objeto em movimento, permitindo que qualquer uma dessas variáveis seja resolvida se as outras forem conhecidas.
Abaixo está a representação de um objeto em movimento de aceleração constante em uma dimensão. A variável t é para o tempo, a posição é x, velocidade v e aceleração uma. Os subscritos eu e f representam "inicial" e "final", respectivamente. É assumido que t = 0 em xeu e veu.
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Lista de Equações Cinemáticas
Existem três equações cinemáticas primárias listadas abaixo que se aplicam ao trabalhar em uma dimensão. Essas equações são:
\ # \ text {1:} v_f = v_i + em \\ \ # \ text {2:} x_f = x_i + v_i t + \ frac 1 2 em ^ 2 \\ \ # \ text {3:} (v_f) ^ 2 = (v_i) ^ 2 + 2a (x_f - x_i)
Notas sobre as equações cinemáticas
- Essas equações funcionam apenas com uma aceleração constante (que pode ser zero no caso de velocidade constante).
- Dependendo de qual fonte você lê, as quantidades finais podem não ter um subscrito f, e / ou pode ser representado em notação de função como x (t) - leitura "x em função do tempo ”ou“x no tempo t" - e v (t). Observe que x (t) não significa x multiplicado por t!
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Às vezes a quantidade xf - xeu está escrito
Δx, significando “a mudança em x, ”Ou simplesmente como d, significando deslocamento. Todos são equivalentes. Posição, velocidade e aceleração são grandezas vetoriais, o que significa que têm direção associada a elas. Em uma dimensão, a direção é normalmente indicada por sinais - as quantidades positivas estão na direção positiva e as quantidades negativas estão na direção negativa. Subscritos: "0" pode ser usado para a posição inicial e velocidade em vez de eu. Este "0" significa "em t = 0, "e x0 e v0 são tipicamente pronunciados "x-nada" e "v-nada". * Apenas uma das equações não inclui o tempo. Ao escrever dados e determinar qual equação usar, essa é a chave!
Um caso especial: queda livre
O movimento em queda livre é o movimento de um objeto que se acelera devido apenas à gravidade na ausência de resistência do ar. As mesmas equações cinemáticas se aplicam; no entanto, o valor da aceleração perto da superfície da Terra é conhecido. A magnitude desta aceleração é frequentemente representada por g, onde g = 9,8 m / s2. A direção desta aceleração é para baixo, em direção à superfície da Terra. (Observe que algumas fontes podem aproximar-se g como 10 m / s2, e outros podem usar um valor com precisão de mais de duas casas decimais.)
Estratégia de resolução de problemas para problemas cinemáticos em uma dimensão:
Esboce um diagrama da situação e escolha um sistema de coordenadas apropriado. (Lembre-se disso x, v e uma são todas quantidades vetoriais, portanto, ao atribuir uma direção clara e positiva, será mais fácil acompanhar os sinais.)
Escreva uma lista de quantidades conhecidas. (Esteja ciente de que às vezes as coisas conhecidas não são óbvias. Procure frases como "começa do repouso", o que significa que veu = 0, ou "atinge o solo", o que significa que xf = 0 e assim por diante.)
Determine qual quantidade a pergunta deseja que você encontre. Qual é o desconhecido que você estará resolvendo?
Escolha a equação cinemática apropriada. Esta será a equação que contém sua quantidade desconhecida junto com as quantidades conhecidas.
Resolva a equação para a quantidade desconhecida, depois insira os valores conhecidos e calcule a resposta final. (Cuidado com as unidades! Às vezes, você precisará converter unidades antes de calcular.)
Exemplos de cinemática unidimensional
Exemplo 1: Um anúncio afirma que um carro esporte pode ir de 0 a 60 mph em 2,7 segundos. Qual é a aceleração desse carro em m / s2? Quão longe ele viaja durante esses 2,7 segundos?
Solução:
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Quantidades conhecidas e desconhecidas:
v_i = 0 \ text {mph} \\ v_f = 60 \ text {mph} \\ t = 2,7 \ text {s} \\ x_i = 0 \\ a = \ text {?} \\ x_f = \ text {? }
A primeira parte da questão requer uma solução para a aceleração desconhecida. Aqui podemos usar a equação # 1:
v_f = v_i + at \ implica a = \ frac {(v_f-v_i)} t
Antes de inserirmos os números, no entanto, precisamos converter 60 mph em m / s:
60 \ cancel {\ text {mph}} \ Bigg (\ frac {0,477 \ text {m / s}} {\ cancel {\ text {mph}}} \ Bigg) = 26,8 \ text {m / s}
Portanto, a aceleração é então:
a = \ frac {(26,8-0)} {2,7} = \ underline {\ bold {9,93} \ text {m / s} ^ 2}
A fim de descobrir o quão longe ele vai nesse tempo, podemos usar a equação # 2:
x_f = x_i + v_it + \ frac 1 2 at ^ 2 = \ frac 1 2 \ times 9,93 \ times 2,7 ^ 2 = \ underline {\ bold {36,2} \ text {m}}
Exemplo 2: Uma bola é lançada a uma velocidade de 15 m / s de uma altura de 1,5 m. Quão rápido está indo quando atinge o solo? Quanto tempo leva para atingir o solo?
Solução:
(Inserir imagem 3)
Quantidades conhecidas e desconhecidas:
x_i = 1,5 \ text {m} \\ x_f = 0 \ text {m} \\ v_i = 15 \ text {m / s} \\ a = -9,8 \ text {m / s} ^ 2 \\ v_f =? \\ t =?
Para resolver a primeira parte, podemos usar a equação # 3:
(v_f) ^ 2 = (v_i) ^ 2 + 2a (x_f-x_i) \ implica v_f = \ pm \ sqrt {(v_i) ^ 2 + 2a (x_f-x_i)}
Tudo já está em unidades consistentes, então podemos inserir valores:
v_f = \ pm \ sqrt {15 ^ 2 + 2 (-9,8) (0-1,5)} = \ pm \ sqrt {254,4} \ approx \ pm16 \ text {m / s}
Existem duas soluções aqui. Qual está correto? Em nosso diagrama, podemos ver que a velocidade final deve ser negativa. Portanto, a resposta é:
v_f = \ underline {\ bold {-16} \ text {m / s}}
Para resolver o tempo, podemos usar a equação # 1 ou a equação # 2. Visto que a equação nº 1 é mais simples de trabalhar, vamos usá-la:
v_f = v_i + at \ implica t = \ frac {(v_f-v_i)} {a} = \ frac {(-16-15)} {- 9,8} \ approx \ underline {\ bold {3.2} \ text {s }}
Observe que a resposta à primeira parte desta pergunta não foi 0 m / s. Embora seja verdade que depois que a bola pousar, ela terá velocidade 0, esta pergunta quer saber a velocidade com que ela está indo naquela fração de segundo antes do impacto. Uma vez que a bola faz contato com o solo, nossas equações cinemáticas não se aplicam mais porque a aceleração não será constante.
Equações cinemáticas para movimento de projéteis (duas dimensões)
Um projétil é um objeto que se move em duas dimensões sob a influência da gravidade da Terra. Seu trajeto é uma parábola, pois a única aceleração se deve à gravidade. As equações cinemáticas para o movimento do projétil assumem uma forma ligeiramente diferente das equações cinemáticas listadas acima. Usamos o fato de que os componentes de movimento que são perpendiculares entre si - como o x direção e vertical y direção - são independentes.
Estratégia de resolução de problemas para problemas de cinemática de movimento de projéteis:
Esboce um diagrama da situação. Assim como com o movimento unidimensional, é útil esboçar o cenário e indicar o sistema de coordenadas. Em vez de usar os rótulos x, v e uma para posição, velocidade e aceleração, precisamos de uma forma de rotular o movimento em cada dimensão separadamente.
Para a direção horizontal, é mais comum usar x para posição e vx para o componente x da velocidade (observe que a aceleração é 0 nesta direção, então não precisamos de uma variável para isso). y direção, é mais comum usar y para posição e vy para o componente y da velocidade. A aceleração pode ser rotulada umay ou podemos usar o fato de que sabemos que a aceleração da gravidade é g na direção y negativa, e apenas use isso.
Escreva uma lista de quantidades conhecidas e desconhecidas dividindo o problema em duas seções: movimento vertical e horizontal. Use a trigonometria para encontrar os componentes xey de quaisquer quantidades vetoriais que não estejam ao longo de um eixo. Pode ser útil listar isso em duas colunas:
(insira a tabela 1)
Nota: Se a velocidade for dada como uma magnitude junto com um ângulo, Ѳ, acima da horizontal, então use a decomposição vetorial, vx= vcos (Ѳ) e vy= vsin (Ѳ).
Podemos considerar nossas três equações cinemáticas anteriores e adaptá-las às direções xey, respectivamente.
Direção X:
x_f = x_i + v_xt
Direção Y:
v_ {yf} = v_ {yi} -gt \\ y_f = y_i + v_ {yi} t- \ frac 1 2 gt ^ 2 \\ (v_ {yf}) ^ 2 = (v_ {yi}) ^ 2- 2g (y_f - y_i)
Observe que a aceleração no y direção é -g se assumirmos que é positivo. Um equívoco comum é que g = -9,8 m / s2, mas isso está incorreto; g em si é simplesmente a magnitude da aceleração: g = 9,8 m / s2, então precisamos especificar que a aceleração é negativa.
Resolva um desconhecido em uma dessas dimensões e, em seguida, conecte o que é comum em ambas as direções. Embora o movimento nas duas dimensões seja independente, ele ocorre na mesma escala de tempo, portanto, a variável de tempo é a mesma em ambas as dimensões. (O tempo que a bola leva para passar por seu movimento vertical é igual ao tempo que leva para passar por seu movimento horizontal.)
Exemplos de cinemática de movimento de projéteis
Exemplo 1: Um projétil é lançado horizontalmente de um penhasco de 20 m de altura com uma velocidade inicial de 50 m / s. Quanto tempo leva para atingir o solo? A que distância da base da falésia ele pousa?
(inserir imagem 4)
Quantidades conhecidas e desconhecidas:
(insira a tabela 2)
Podemos encontrar o tempo que leva para atingir o solo usando a segunda equação de movimento vertical:
y_f = y_i + v_ {yi} t- \ frac 1 2 gt ^ 2 \ implica t = \ sqrt {\ frac {(2 \ vezes 20)} g} = \ underline {\ bold {2.02} \ text {s} }
Então, para descobrir onde ele cai, xf, podemos usar a equação do movimento horizontal:
x_f = x_i + v_xt = 50 \ times2.02 = \ underline {\ bold {101} \ text {s}}
Exemplo 2: Uma bola é lançada a 100 m / s do nível do solo em um ângulo de 30 graus com a horizontal. Onde ele pousa? Quando sua velocidade é a menor? Qual é a sua localização neste momento?
(inserir imagem 5)
Quantidades conhecidas e desconhecidas:
Primeiro, precisamos quebrar o vetor de velocidade em componentes:
v_x = v_i \ cos (\ theta) = 100 \ cos (30) \ aprox 86,6 \ text {m / s} \\ v_ {yi} = v_i \ sin (\ theta) = 100 \ sin (30) = 50 \ enviar mensagem de texto {m / s}
Nossa tabela de quantidades é então:
(insira a tabela 3)
Primeiro, precisamos encontrar a hora em que a bola está voando. Podemos fazer isso com a segunda equação vertical_. Observe que usamos a simetria da parábola para determinar que o _y final a velocidade é o negativo do inicial:
Em seguida, determinamos o quão longe ele se move no x direção neste momento:
x_f = x_i + v_xt = 86,6 \ vezes 10,2 \ approx \ underline {\ bold {883} \ text m}
Usando a simetria do caminho parabólico, podemos determinar que a velocidade é menor em 5,1 s, quando o projétil está no pico de seu movimento e o componente vertical da velocidade é 0. Os componentes xey de seu movimento neste momento são:
x_f = x_i + v_xt = 86,6 \ vezes 5,1 \ aprox \ sublinhado {\ negrito {442} \ texto m} \\ y_f = y_i + v_ {yi} t- \ frac 1 2 gt ^ 2 = 50 \ vezes 5,1- \ frac 1 2 9,8 \ times 5,1 ^ 2 \ approx \ underline {\ bold {128} \ text {m}}
Derivação de equações cinemáticas
Equação # 1: Se a aceleração for constante, então:
a = \ frac {(v_f-v_i)} {t}
Resolvendo para a velocidade, temos:
v_f = v_i + at
Equação 2: A velocidade média pode ser escrita de duas maneiras:
v_ {média} = \ frac {(x_f-x_i)} {t} = \ frac {(v_f + v_i)} {2}
Se substituirmos _vf _com a expressão da equação # 1, obtemos:
\ frac {(x_f-x_i)} {t} = \ frac {((v_i + at) + v_i)} {2}
Resolvendo para xf dá:
x_f = x_i + v_i t + \ frac 1 2 em ^ 2
Equação # 3: Comece resolvendo para t na equação # 1
v_f = v_i + em \ implica t = \ frac {(v_f-v_i)} {a}
Conecte esta expressão para t na relação de velocidade média:
v_ {média} = \ frac {(x_f-x_i)} {t} = \ frac {(v_f + v_i)} {2} \ implica \ frac {(x_f-x_i)} {(\ frac {(v_f-v_i )} {a})} = \ frac {(v_f + v_i)} {2}
Reorganizar essa expressão dá:
(v_f) ^ 2 = (v_i) ^ 2 + 2a (x_f - x_i)