A distância euclidiana é a distância entre dois pontos no espaço euclidiano. O espaço euclidiano foi originalmente concebido pelo matemático grego Euclides por volta de 300 a.C. para estudar as relações entre ângulos e distâncias. Este sistema de geometria ainda está em uso hoje e é aquele que os alunos do ensino médio estudam com mais frequência. A geometria euclidiana se aplica especificamente a espaços de duas e três dimensões. No entanto, pode ser facilmente generalizado para dimensões de ordem superior.
Calcule a distância euclidiana para uma dimensão. A distância entre dois pontos em uma dimensão é simplesmente o valor absoluto da diferença entre suas coordenadas. Matematicamente, isso é mostrado como | p1 - q1 | onde p1 é a primeira coordenada do primeiro ponto e q1 é a primeira coordenada do segundo ponto. Usamos o valor absoluto dessa diferença, uma vez que a distância é normalmente considerada como tendo apenas um valor não negativo.
Pegue dois pontos P e Q no espaço euclidiano bidimensional. Descreveremos P com as coordenadas (p1, p2) e Q com as coordenadas (q1, q2). Agora construa um segmento de linha com os pontos finais de P e Q. Este segmento de linha formará a hipotenusa de um triângulo retângulo. Estendendo os resultados obtidos na Etapa 1, notamos que os comprimentos das pernas desse triângulo são dados por | p1 - q1 | e | p2 - q2 |. A distância entre os dois pontos será dada como o comprimento da hipotenusa.
Use o teorema de Pitágoras para determinar o comprimento da hipotenusa na Etapa 2. Este teorema afirma que c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 onde c é o comprimento da hipotenusa de um triângulo retângulo e a, b são os comprimentos das outras duas pernas. Isso nos dá c = (a ^ 2 + b ^ 2) ^ (1/2) = ((p1 - q1) ^ 2 + (p2 - q2) ^ 2) ^ (1/2). A distância entre 2 pontos P = (p1, p2) e Q = (q1, q2) no espaço bidimensional é, portanto, ((p1 - q1) ^ 2 + (p2 - q2) ^ 2) ^ (1/2).
Estenda os resultados da Etapa 3 para o espaço tridimensional. A distância entre os pontos P = (p1, p2, p3) e Q = (q1, q2, q3) pode então ser dada como ((p1-q1) ^ 2 + (p2-q2) ^ 2 + (p3-q3) ^ 2) ^ (1/2).
Generalize a solução na Etapa 4 para a distância entre dois pontos P = (p1, p2,..., pn) e Q = (q1, q2,..., qn) em n dimensões. Esta solução geral pode ser dada como ((p1-q1) ^ 2 + (p2-q2) ^ 2 +... + (pn-qn) ^ 2) ^ (1/2).