Leis do movimento pendular

Os pêndulos têm propriedades interessantes que os físicos usam para descrever outros objetos. Por exemplo, a órbita planetária segue um padrão semelhante e balançar em um conjunto de balanço pode parecer como se você estivesse em um pêndulo. Essas propriedades vêm de uma série de leis que governam o movimento do pêndulo. Ao aprender essas leis, você pode começar a entender alguns dos princípios básicos da física e do movimento em geral.

O movimento de um pêndulo pode ser descrito usando

no qualθrepresenta o ângulo entre a corda e a linha vertical no centro,trepresenta o tempo, eTé o período, o tempo necessário para que ocorra um ciclo completo do movimento do pêndulo (medido por1 / f), do movimento de um pêndulo.

​Movimento harmônico simples, ou movimento que descreve como a velocidade de um objeto oscila proporcionalmente à quantidade de deslocamento do equilíbrio, pode ser usado para descrever a equação de um pêndulo. O balanço do pêndulo é mantido em movimento por esta força agindo sobre ele conforme ele se move para frente e para trás.

•••Syed Hussain Ather

As leis que regem o movimento do pêndulo levaram à descoberta de uma propriedade importante. Os físicos dividem as forças em componentes vertical e horizontal. Em movimento pendular,três forças atuam diretamente no pêndulo: a massa do pêndulo, a gravidade e a tensão na corda. Massa e gravidade trabalham verticalmente para baixo. Uma vez que o pêndulo não se move para cima ou para baixo, o componente vertical da tensão da corda cancela a massa e a gravidade.

Isso mostra que a massa de um pêndulo não tem relevância para seu movimento, mas a tensão horizontal da corda sim. O movimento harmônico simples é semelhante ao movimento circular. Você pode descrever um objeto se movendo em um caminho circular, conforme mostrado na figura acima, determinando o ângulo e o raio que ele leva em seu caminho circular correspondente. Então, usando a trigonometria do triângulo retângulo entre o centro do círculo, a posição do objeto e o deslocamento em ambas as direções xey, você pode encontrar as equaçõesx = rsin (θ)ey = rcos (θ).​

A equação unidimensional de um objeto em movimento harmônico simples é dada porx = r cos (ωt).Você pode ainda substituirUMApararno qualUMAé oamplitude, o deslocamento máximo da posição inicial do objeto.

A velocidade angularωcom respeito ao tempotpara esses ângulosθÉ dado porθ = ωt. Se você substituir a equação que relaciona a velocidade angular à frequênciaf​, ​ω = 2​​πf, você pode imaginar este movimento circular, então, como parte de um pêndulo balançando para frente e para trás, a equação de movimento harmônico simples resultante é

•••Syed Hussain Ather

Pêndulos, como massas em uma mola, são exemplos deosciladores harmônicos simples: Há uma força restauradora que aumenta dependendo de quão deslocado o pêndulo está, e seu movimento pode ser descrito usando oequação do oscilador harmônico simples​

no qualθrepresenta o ângulo entre a corda e a linha vertical no centro,trepresenta o tempo eTé operíodo, o tempo necessário para que ocorra um ciclo completo do movimento do pêndulo (medido por1 / f), do movimento de um pêndulo.

​θ_maxé outra forma de definir o máximo que o ângulo oscila durante o movimento do pêndulo e é outra forma de definir a amplitude do pêndulo. Esta etapa é explicada abaixo na seção "Definição Simples do Pêndulo".

Outra implicação das leis de um pêndulo simples é que o período de oscilação com comprimento constante é independente do tamanho, forma, massa e material do objeto na ponta da corda. Isso é mostrado claramente por meio da derivação do pêndulo simples e das equações resultantes.

Você pode determinar a equação para umpêndulo simples, a definição que depende de um oscilador harmônico simples, de uma série de etapas começando com a equação de movimento de um pêndulo. Como a força da gravidade de um pêndulo é igual à força do movimento do pêndulo, você pode defini-los iguais uns aos outros usando a segunda lei de Newton com a massa do pênduloM, comprimento da cordaeuânguloθ,aceleração gravitacionalge intervalo de tempot​.

•••Syed Hussain Ather

Você define a segunda lei de Newton igual ao momento de inérciaI = senhor²para alguma massame raio do movimento circular (comprimento da corda, neste caso)rvezes a aceleração angularα​.

1. ​ΣF = Ma: A segunda lei de Newton afirma que a força líquidaΣFem um objeto é igual à massa do objeto multiplicada pela aceleração.
2. ​Ma = I α: Isso permite que você defina a força de aceleração gravitacional (-Mg sin (θ) L)igual à força da rotação
   
3. ​-Mg sin (θ) L = Eu α​: Você pode obter a direção da força vertical devido à gravidade (-Mg) calculando a aceleração comosin (θ) LE sesin (θ) = d / Lpara algum deslocamento horizontalde ânguloθ​ para dar conta da direção.
   
4. ​-Mg sin (θ) L = ML² α: Você substitui a equação pelo momento de inércia de um corpo em rotação usando o comprimento L da corda como raio.
   
5. ​-Mg sin (θ) L = -ML²​​d²θ / dt: Explique a aceleração angular, substituindo a segunda derivada do ângulo em relação ao tempo paraα.Esta etapa requer cálculo e equações diferenciais.
   
6. ​d²θ / dt² + (g / L) sinθ = 0: Você pode obter isso reorganizando os dois lados da equação
   
7. ​d²θ / dt² + (g / L) θ = 0: Você pode aproximarsin (θ)comoθpara fins de um pêndulo simples em ângulos muito pequenos de oscilação
   
8. ​θ (t) = θ_maxcos (t (L / g)²): A equação do movimento tem esta solução. Você pode verificar tomando a segunda derivada desta equação e trabalhando para obter a etapa 7.

Existem outras maneiras de fazer uma derivação de pêndulo simples. Entenda o significado de cada etapa para ver como estão relacionadas. Você pode descrever um movimento de pêndulo simples usando essas teorias, mas também deve levar em consideração outros fatores que podem afetar a teoria do pêndulo simples.

Se você comparar o resultado desta derivação

à equação de um oscilador harmônico simplesby definindo-os iguais uns aos outros, você pode derivar uma equação para o período T:

Observe que esta equação não depende da massaMdo pêndulo, a amplitudeθ_max, nem na horat. Isso significa que o período é independente da massa, amplitude e tempo, mas, em vez disso, depende do comprimento da corda. Oferece uma forma concisa de expressar o movimento do pêndulo.

Com a equação por um período, você pode reorganizar a equação para obter

e substitua 1 segundo porTe9,8 m / s²paragobterL =0,0025 m. Tenha em mente que essas equações da teoria do pêndulo simples presumem que o comprimento da corda não tem atrito e massa. Levar em consideração esses fatores exigiria equações mais complicadas.

Você pode puxar o ângulo do pêndulo para trásθpara deixá-lo balançar para frente e para trás para vê-lo oscilar exatamente como uma mola faria. Para um pêndulo simples, você pode descrevê-lo usando equações de movimento de um oscilador harmônico simples. A equação de movimento funciona bem para valores menores de ângulo eamplitude, o ângulo máximo, porque o modelo de pêndulo simples depende da aproximação quesin (θ)​ ≈ ​θpara algum ângulo de pênduloθ.À medida que os ângulos e amplitudes dos valores se tornam maiores do que cerca de 20 graus, essa aproximação não funciona tão bem.

Experimente você mesmo. Um pêndulo balançando com um grande ângulo inicialθnão oscilará tão regularmente para permitir que você use um oscilador harmônico simples para descrevê-lo. Em um ângulo inicial menorθ, o pêndulo se aproxima de um movimento oscilatório regular com muito mais facilidade. Como a massa de um pêndulo não influencia seu movimento, os físicos provaram que todos os pêndulos têm o mesmo período de oscilação ângulos - o ângulo entre o centro do pêndulo em seu ponto mais alto e o centro do pêndulo em sua posição parada - menos de 20 graus.

Para todos os efeitos práticos de um pêndulo em movimento, o pêndulo acabará por desacelerar e parar devido ao atrito entre a corda e seu ponto preso acima, bem como devido à resistência do ar entre o pêndulo e o ar em torno dele.

Para exemplos práticos de movimento do pêndulo, o período e a velocidade dependeriam do tipo de material usado que causaria esses exemplos de atrito e resistência do ar. Se você realizar cálculos sobre o comportamento oscilatório do pêndulo teórico sem levar em conta essas forças, isso representará um pêndulo oscilando infinitamente.

A primeira lei de Newton define a velocidade dos objetos em resposta às forças. A lei afirma que se um objeto se move a uma velocidade específica e em linha reta, ele continuará a se mover nessa velocidade e em linha reta, infinitamente, enquanto nenhuma outra força atuar sobre ele. Imagine jogar uma bola para a frente - a bola daria voltas e mais voltas na Terra se a resistência do ar e a gravidade não agissem sobre ela. Essa lei mostra que, como um pêndulo se move de um lado para o outro e não para cima e para baixo, não há forças para cima e para baixo agindo sobre ele.

A segunda lei de Newton é usada para determinar a força resultante no pêndulo, definindo a força gravitacional igual à força da corda que puxa de volta o pêndulo. Definir essas equações iguais umas às outras permite derivar as equações de movimento do pêndulo.

A terceira lei de Newton afirma que toda ação tem uma reação de igual força. Esta lei funciona com a primeira lei mostrando que embora a massa e a gravidade cancelem a componente vertical do vetor de tensão da corda, nada cancela a componente horizontal. Esta lei mostra que as forças que atuam em um pêndulo podem se anular.

Os físicos usam a primeira, segunda e terceira leis de Newton para provar que a tensão horizontal das cordas move o pêndulo, independentemente da massa ou da gravidade. As leis de um pêndulo simples seguem as idéias das três leis do movimento de Newton.