Przed omówieniem środka ciężkości przyjmijmy kilka parametrów. Po pierwsze, masz do czynienia z obiektem, który znajduje się na powierzchni Ziemi, a nie gdzieś w kosmosie. A po drugie, że obiekt jest dość mały – powiedzmy, że nie statek kosmiczny zaparkowany na Ziemi w oczekiwaniu na start. Gdy wszystkie te pozaziemskie wpływy zostaną wyeliminowane, jesteś w doskonałej sytuacji, aby obliczyć środek ciężkości obiektów geometrycznych za pomocą stosunkowo prosty wzór – i faktycznie, z powodu właśnie określonych warunków, użyjesz tego samego wzoru, aby znaleźć środek ciężkości, jak znaleźć środek masy.
Jak pisać o środku ciężkości?
Środek ciężkości w dwuwymiarowej płaszczyźnie jest zwykle oznaczany przez współrzędne (xcgtakcg) lub czasami przez zmiennexitakz poprzeczką nad nimi. Również termin „środek ciężkości” jest czasami skracany do cg.
Jak obliczyć CG trójkąta
Twój podręcznik do matematyki lub fizyki często zawiera wykresy do określania środka równowagi niektórych figur. Ale w przypadku niektórych typowych kształtów geometrycznych możesz użyć odpowiedniego wzoru na środek ciężkości, aby znaleźć środek ciężkości tego kształtu.
W przypadku trójkątów środek ciężkości znajduje się w punkcie, w którym przecinają się wszystkie trzy mediany. Jeśli zaczniesz od jednego wierzchołka trójkąta, a następnie narysujesz linię prostą do punktu środkowego drugiego boku, będzie to jedna mediana. Zrób to samo dla pozostałych dwóch wierzchołków, a punktem przecięcia wszystkich trzech środkowych jest środek ciężkości trójkąta.
I oczywiście jest na to przepis. Jeśli współrzędne środka ciężkości trójkąta to (xcgtakcg), znajdziesz jego współrzędne w ten sposób:
x_{cg}=\frac{x_1+x_2+x_3}{3}\\\text{ }\\y_{cg}=\frac{y_1+y_2+y_3}{3}
Gdzie (x1tak1), (x2tak2) i (x3tak3) to współrzędne trzech wierzchołków trójkąta. Możesz wybrać, który wierzchołek jest przypisany do którego numeru.
Wzór środka ciężkości dla prostokąta
Czy zauważyłeś, że aby znaleźć środek ciężkości trójkąta, po prostu uśredniasz wartość współrzędnych x, następnie uśrednij wartość współrzędnych y i użyj tych dwóch wyników jako współrzędnych środka ciężkości?
Aby znaleźć środek ciężkości prostokąta, robisz dokładnie to samo. Aby jednak obliczenia były jeszcze łatwiejsze, załóżmy, że prostokąt jest zorientowany prostopadle do kartezjańskiego płaszczyzna współrzędnych (więc nie jest ustawiona pod kątem), a jej dolny lewy wierzchołek znajduje się na początku wykres. W takim przypadku, aby znaleźć (xcgtakcg) dla prostokąta wystarczy obliczyć:
x_{cg}=\frac{\text{szerokość}}{2}\\\text{ }\\y_{cg}=\frac{\text{wysokość}}{2}
Jeśli nie chcesz przenosić prostokąta do początku płaszczyzny współrzędnych lub z jakiegokolwiek powodu nie jest to dokładnie kwadratowe osie współrzędnych, możesz stawić czoła tej nieco bardziej przerażającej, ale wciąż skutecznej formule, aby uśrednić wszystkie współrzędne x, aby znaleźć wartość z xcgi uśrednij wszystkie współrzędne y, aby znaleźć wartość ycg:
x_{cg}=\frac{x_1+x_2+x_3+x_4}{4}\\\text{ }\\y_{cg}=\frac{y_1+y_2+y_3+y_4}{4}
Równanie środka ciężkości
Co zrobić, jeśli musisz obliczyć środek ciężkości kształtu, który pasuje do wszystkich wspomnianych wcześniej założeń (w zasadzie nie próbujesz zajmować się dosłowną nauką o rakietach poprzez znalezienie środka ciężkości obiektów w przestrzeni), ale nie należy do żadnej z wymienionych kategorii ani do wykresów z tyłu podręcznik? Następnie możesz podzielić swój kształt na bardziej znajome kształty i użyć następujących równań, aby znaleźć ich wspólny środek ciężkości:
x_{cg}=\frac{a_1x_1+a_2x_2+...+a_nx_n}{a_1+a_2+...+a_n}\\\text{ }\\y_{cg}=\frac{a_1y_1+a_2y_2+...+ a_ny_n}{a_1+a_2+...+a_n}
Albo inaczej, xcg równa się powierzchni przekroju 1 razy jego położenie na osi X, dodawane do obszaru przekroju 2 razy jego położenie i tak dalej, aż zsumujesz obszar razy położenie wszystkich sekcji; następnie podziel tę całą kwotę przez łączną powierzchnię wszystkich sekcji. Następnie zrób to samo dla y.
P: Jak znaleźć obszar każdej sekcji?Dzielenie złożonego lub nieregularnego kształtu na bardziej znajome wielokąty umożliwia znajdowanie obszaru za pomocą standardowych formuł. Na przykład, jeśli podzieliłeś ten kształt na prostokątne części, możesz użyć formuły długość × szerokość, aby znaleźć obszar każdego kawałka.
P: Jaka jest „lokalizacja” każdej sekcji?Lokalizacja każdej sekcji jest odpowiednią współrzędną od środka ciężkości tej sekcji. Więc jeśli chcesz2 (lokalizacja segmentu 2), musisz podać współrzędną y dla środka ciężkości tego segmentu. Ponownie, dlatego dzielisz obiekt o dziwnym kształcie na bardziej znajome kształty, ponieważ możesz użyć omówione już formuły, aby znaleźć środek ciężkości każdego kształtu, a następnie wyodrębnić odpowiednią współrzędną (y).
P: Gdzie mój kształt idzie na płaszczyźnie współrzędnych?Możesz wybrać, gdzie twój kształt znajduje się na płaszczyźnie współrzędnych – pamiętaj tylko, że środek ciężkości odpowiedzi będzie w stosunku do tego samego punktu odniesienia. Najłatwiej jest umieścić obiekt w pierwszej ćwiartce wykresu, dolną krawędzią naprzeciw osi x i lewą krawędź w stosunku do osi y, tak aby wszystkie wartości x i y były dodatnie, ale również wystarczająco małe, aby wykonalny.
Sztuczki na znalezienie środka ciężkości
Jeśli masz do czynienia z pojedynczym obiektem, czasami wystarczy intuicja i odrobina logiki, aby znaleźć jego środek ciężkości. Na przykład, jeśli rozważasz płaski dysk, środek ciężkości będzie środkiem dysku. W cylindrze jest to punkt środkowy na osi cylindra. W przypadku prostokąta (lub kwadratu) jest to punkt, w którym zbiegają się ukośne linie.
Być może zauważyłeś tutaj wzór: jeśli dany obiekt ma linię symetrii, środek ciężkości będzie znajdował się na tej linii. A jeśli ma wiele osi symetrii, środek ciężkości będzie tam, gdzie te osie się przecinają.
Na koniec, jeśli próbujesz znaleźć środek ciężkości dla naprawdę złożonego obiektu, masz dwie możliwości: Albo wyrzuć swoje najlepsze całki z rachunku różniczkowego (zobacz Zasoby dla całki potrójnej, która reprezentuje środek ciężkości niejednorodnej masy) lub wprowadź dane do specjalnie zbudowanego środka ciężkości kalkulator. (Zobacz Zasoby dla przykładu kalkulatora środka ciężkości dla samolotów sterowanych radiowo.)