Powiedzmy, że masz funkcję y = f (x), gdzie y jest funkcją od x. Nie ma znaczenia, jaki jest konkretny związek. Może to być y = x^2, na przykład prosta i znajoma parabola przechodząca przez początek. Może to być y = x^2 + 1, parabola o identycznym kształcie i wierzchołku o jedną jednostkę powyżej początku. Może to być bardziej złożona funkcja, taka jak y = x^3. Niezależnie od funkcji, linia prosta przechodząca przez dowolne dwa punkty na krzywej jest sieczną.
Weź wartości x i y dla dowolnych dwóch punktów, o których wiesz, że znajdują się na krzywej. Punkty są podane jako (wartość x, wartość y), więc punkt (0, 1) oznacza punkt na płaszczyźnie kartezjańskiej, gdzie x = 0 i y = 1. Krzywa y = x^2 + 1 zawiera punkt (0, 1). Zawiera również punkt (2, 5). Możesz to potwierdzić, wstawiając każdą parę wartości x i y do równania i upewniając się, że równanie równoważy się w obu przypadkach: 1 = 0 + 1, 5 = 2^2 + 1. Zarówno (0, 1) jak i (2, 5) są punktami krzywej y = x^2 +1. Linia prosta między nimi jest sieczną i zarówno (0, 1), jak i (2, 5) będą również częścią tej prostej.
Określ równanie dla linii prostej przechodzącej przez oba te punkty, wybierając wartości, które spełniają równanie y = mx + b -- ogólne równanie dowolnej linii prostej -- dla obu punktów. Wiesz już, że y = 1, gdy x wynosi 0. Oznacza to, że 1 = 0 + b. Więc b musi być równe 1.
Zastąp wartości x i y w drugim punkcie równaniem y = mx + b. Znasz y = 5, gdy x = 2 i wiesz, że b = 1. To daje 5 = m (2) + 1. Więc m musi być równe 2. Teraz znasz zarówno m, jak i b. Sieczna linia między (0, 1) i (2, 5) to y = 2x + 1
Wybierz inną parę punktów na swojej krzywej i możesz wyznaczyć nową sieczną. Na tej samej krzywej, y = x^2 + 1, możesz wziąć punkt (0, 1) tak jak wcześniej, ale tym razem wybierz (1, 2) jako drugi punkt. Wstaw (1, 2) do równania na krzywą, a otrzymasz 2 = 1^2 + 1, co jest oczywiście poprawne, więc wiesz, że (1, 2) również znajduje się na tej samej krzywej. Sieczna linia między tymi dwoma punktami to y = mx + b: Wstawiając 0 i 1 dla x i y, otrzymasz: 1 = m (0) + b, więc b jest nadal równe jeden. Podanie wartości dla nowego punktu (1, 2) daje 2 = mx + 1, co równoważy się, jeśli m jest równe 1. Równanie dla siecznej między (0, 1) i (1, 2) to y = x + 1.
Bibliografia
- University of California, Santa Barbara: Linie sieczne, linie styczne i definicja graniczna pochodnej.
- Wolfram Math World: sieczna linia
Wskazówki
- Zwróć uwagę, że sieczna linia zmienia się w miarę wskazywania drugiego punktu bliżej pierwszego punktu. Zawsze możesz wybrać punkt na krzywej bliżej niż wcześniej i uzyskać nową sieczną. W miarę zbliżania się drugiego punktu do pierwszego punktu, sieczna linia między nimi zbliża się do stycznej do krzywej w pierwszym punkcie.
o autorze
Andrew Breslin zawodowo pisze od 1994 roku. Jego artykuły i publicystyka ukazywały się w „South Florida Sun Sentinel”, „St Paul Pioneer Press”, „Detroit Free Press”, „Charlotte Observer”, „Good Medicine” i innych. Studiował biologię molekularną na Westchester University i często pisze o nauce i matematyce.
Kredyty fotograficzne
Jupiterimages/Photos.com/Getty Images