Rodzaje równań algebry

Istnieje pięć głównych typów równań algebraicznych, różniących się położeniem zmiennych, rodzajami używanych operatorów i funkcji oraz zachowaniem ich wykresów. Każdy typ równania ma inne oczekiwane dane wejściowe i daje wynik z inną interpretacją. Różnice i podobieństwa między pięcioma typami równań algebraicznych i ich zastosowaniami pokazują różnorodność i moc operacji algebraicznych.

Jednomiany i wielomiany to równania składające się z wyrazów zmiennych z wykładnikami liczb całkowitych. Wielomiany są klasyfikowane według liczby wyrazów w wyrażeniu: jednomiany mają jeden wyraz, dwumiany mają dwa wyrazy, trójmiany mają trzy wyrazy. Każde wyrażenie zawierające więcej niż jeden wyraz nazywane jest wielomianem. Wielomiany są również klasyfikowane według stopnia, który jest liczbą najwyższego wykładnika w wyrażeniu. Wielomiany o stopniach jeden, dwa i trzy nazywane są odpowiednio wielomianami liniowymi, kwadratowymi i sześciennymi. Równanie x^2 - x - 3 nazywa się trójmianem kwadratowym. Równania kwadratowe są powszechnie spotykane w algebrze I i II; ich wykres, znany jako parabola, opisuje łuk wyznaczony przez pocisk wystrzelony w powietrze.

Równania wykładnicze różnią się od wielomianów tym, że mają zmienne wyrazy w wykładnikach. Przykładem równania wykładniczego jest y = 3^(x - 4) + 6. Funkcje wykładnicze są klasyfikowane jako wzrost wykładniczy, jeśli zmienna niezależna ma dodatni współczynnik, a wykładniczy zanik, jeśli ma ujemny współczynnik. Równania wzrostu wykładniczego służą do opisu rozprzestrzeniania się populacji i chorób, a także koncepcji finansowych, takich jak oprocentowanie składane (wzór na oprocentowanie składane to Pe^(rt), gdzie P to kwota główna, r to stopa procentowa, a t to kwota czasu). Równania rozkładu wykładniczego opisują takie zjawiska, jak rozpad radioaktywny.

Funkcje logarytmiczne są odwrotnością funkcji wykładniczych. Dla równania y = 2^x funkcja odwrotna to y = log2 x. Podstawa logarytmu b liczby x jest równa wykładnikowi, do którego musisz podnieść b, aby otrzymać liczbę x. Na przykład log2 z 16 to 4, ponieważ 2 do czwartej potęgi to 16. Liczba transcendentalna „e” jest najczęściej używana jako podstawa logarytmiczna; logarytm o podstawie e jest często nazywany logarytmem naturalnym. Równania logarytmiczne są używane w wielu typach skal natężenia dźwięku, takich jak skala Richtera dla trzęsień ziemi i skala decybelowa dla natężenia dźwięku. Skala decybelowa wykorzystuje podstawę logarytmiczną 10, co oznacza, że ​​wzrost o jeden decybel odpowiada dziesięciokrotnemu wzrostowi natężenia dźwięku.

Równania wymierne są równaniami algebraicznymi postaci p (x) / q (x), gdzie p (x) i q (x) są wielomianami. Przykładem równania wymiernego jest (x - 4) / (x^2 - 5x + 4). Równania wymierne wyróżniają się asymptotami, które są wartościami y i x, do których wykres równania zbliża się, ale nigdy nie osiąga. Pionowa asymptota równania wymiernego jest wartością x, której wykres nigdy nie osiąga — wartość y idzie do dodatniej lub ujemnej nieskończoności, gdy wartość x zbliża się do asymptoty. Asymptota pozioma to wartość y, do której wykres zbliża się, gdy x zbliża się do dodatniej lub ujemnej nieskończoności.

Równania trygonometryczne zawierają funkcje trygonometryczne sin, cos, tan, sec, csc i cot. Funkcje trygonometryczne opisują stosunek dwóch boków trójkąta prostokątnego, przyjmując miarę kąta jako zmienną wejściową lub niezależną, a stosunek jako zmienną wyjściową lub zależną. Na przykład y = sin x opisuje stosunek przeciwnej strony trójkąta prostokątnego do jego przeciwprostokątnej dla kąta miary x. Funkcje trygonometryczne różnią się tym, że są okresowe, co oznacza, że ​​wykres powtarza się po pewnym czasie. Wykres standardowej fali sinusoidalnej ma okres 360 stopni.