Jak rozwiązać równanie pierwiastka kwadratowego

Pierwiastek kwadratowy z liczby to wartość, która po pomnożeniu przez siebie daje pierwotną liczbę. Na przykład pierwiastek kwadratowy z 0 to 0, pierwiastek kwadratowy ze 100 to 10, a pierwiastek kwadratowy z 50 to 7,071. Czasami można wyliczyć lub po prostu przypomnieć sobie pierwiastek kwadratowy z liczby, która sama w sobie jest „kwadratem doskonałym”, który jest iloczynem liczby całkowitej pomnożonej przez samą siebie; w miarę postępów w nauce prawdopodobnie opracujesz sobie w pamięci listę tych liczb (1, 4, 9, 25, 36.. .).

Problemy z pierwiastkami kwadratowymi są niezbędne w inżynierii, rachunku różniczkowym i praktycznie w każdej dziedzinie współczesnego świata. Chociaż możesz łatwo zlokalizować kalkulatory równań pierwiastkowych w trybie online (patrz Zasoby jako przykład), rozwiązywanie równań pierwiastkowych jest ważne umiejętność algebry, ponieważ pozwala na zapoznanie się z używaniem pierwiastków i pracę z wieloma typami problemów poza pierwiastkami kwadratowymi jako taki.

Fakt, że pomnożenie dwóch liczb ujemnych razem daje liczbę dodatnią, jest ważny w świecie pierwiastków kwadratowych, ponieważ implikuje że liczby dodatnie faktycznie mają dwa pierwiastki kwadratowe (na przykład pierwiastki kwadratowe z 16 to 4 i -4, nawet jeśli tylko ten pierwszy jest intuicyjny). Podobnie liczby ujemne nie mają rzeczywistych pierwiastków kwadratowych, ponieważ nie istnieje liczba rzeczywista, która po pomnożeniu przez siebie przyjmuje wartość ujemną. W tej prezentacji ujemny pierwiastek kwadratowy z liczby dodatniej zostanie zignorowany, tak że „pierwiastek kwadratowy z 361” może zostać przyjęty jako „19”, a nie „-19 i 19”.

Ponadto, gdy próbujesz oszacować wartość pierwiastka kwadratowego, gdy żaden kalkulator nie jest podręczny, ważne jest, aby zdać sobie sprawę, że funkcje zawierające kwadraty i pierwiastki kwadratowe nie są liniowe. Więcej na ten temat zobaczysz w dalszej części rozdziału o wykresach, ale jako przybliżony przykład zaobserwowałeś już, że pierwiastek kwadratowy ze 100 to 10, a pierwiastek kwadratowy z 0 to 0. Na pierwszy rzut oka może to prowadzić do odgadnięcia, że ​​pierwiastek kwadratowy z 50 (czyli w połowie między 0 a 100) musi wynosić 5 (czyli w połowie między 0 a 10). Ale już się nauczyłeś, że pierwiastek kwadratowy z 50 to 7,071.

Wreszcie, być może przyswoiłeś sobie pomysł, że pomnożenie dwóch liczb razem daje liczbę większy od siebie, co oznacza, że ​​pierwiastki kwadratowe liczb są zawsze mniejsze niż oryginał numer. Nie o to chodzi! Liczby od 0 do 1 również mają pierwiastki kwadratowe iw każdym przypadku pierwiastek kwadratowy jest większy niż pierwotna liczba. Najłatwiej to pokazać za pomocą ułamków. Na przykład 16/25 lub 0,64 ma idealny kwadrat zarówno w liczniku, jak i mianowniku. Oznacza to, że pierwiastek kwadratowy ułamka jest pierwiastkiem kwadratowym jego składowych górnej i dolnej, czyli 4/5. To jest równe 0,80, więcej niż 0,64.

„Pierwiastek kwadratowy zx” jest zwykle pisane przy użyciu tak zwanego radykalnego znaku lub po prostu radykalnego (√ ). Tak więc dla każdegox​:

reprezentuje jego pierwiastek kwadratowy. Odwracając to dookoła, kwadrat liczbyxjest zapisywany przy użyciu wykładnika 2 (x​²). Wykładniki przyjmują indeksy górne w edytorach tekstu i powiązanych aplikacjach i są również nazywane mocami. Ponieważ radykalne znaki nie zawsze są łatwe do wyprodukowania na żądanie, inny sposób na zapisanie „pierwiastka kwadratowego zx" jest użycie wykładnika:

To z kolei jest częścią ogólnego schematu:

oznacza „podnieśćxdo potęgitak, a następnie weź 'z„korzeń tego”.x​^1/2 zatem oznacza „podnieśćxdo pierwszej potęgi, która jest po prostuxponownie, a następnie weź z tego pierwiastek 2 lub pierwiastek kwadratowy”.x​^(5/3) oznacza „podnieśćxdo potęgi 5, a następnie znajdź trzeci pierwiastek (lub pierwiastek sześcienny) wyniku."

Rodniki mogą być używane do reprezentowania pierwiastków innych niż 2, pierwiastek kwadratowy. Odbywa się to poprzez dodanie indeksu górnego do lewego górnego rogu radykalnej.

wtedy reprezentuje tę samą liczbę cox​^(5/3) z poprzedniego akapitu.

Większość pierwiastków kwadratowych to liczby niewymierne. Oznacza to, że nie tylko nie są to ładne, zgrabne liczby całkowite (np. 1, 2, 3, 4.. .), ale nie mogą być również wyrażone jako zgrabna liczba dziesiętna, która kończy się bez konieczności zaokrąglania. Liczbę wymierną można wyrazić jako ułamek. Więc nawet jeśli 2,75 nie jest liczbą całkowitą, jest liczbą wymierną, ponieważ jest tym samym, co ułamek 11/4. Powiedziano wam wcześniej, że pierwiastek kwadratowy z 50 wynosi 7,071, ale w rzeczywistości jest to zaokrąglone z nieskończonej liczby miejsc po przecinku. Dokładna wartość √50 to 5√2, a wkrótce zobaczysz, jak to zostanie ustalone.

Widzieliście już, że równania dotyczące kwadratów i pierwiastków kwadratowych są nieliniowe. Prostym sposobem na zapamiętanie tego jest to, że wykresy rozwiązań tych równań nie są liniami. Ma to sens, ponieważ jeśli, jak zauważono, kwadrat 0 to 0, a kwadrat 10 to 100, ale kwadrat z 5 to nie 50, wykres wynikający z prostego podniesienia liczby do kwadratu musi zakrzywiać się do poprawnej wartości.

Tak jest w przypadku wykresu

jak sam możesz się przekonać odwiedzając kalkulator w Zasobie i zmieniając parametry. Linia przechodzi przez punkt (0,0), a y nie schodzi poniżej 0, czego powinieneś się spodziewać, ponieważ wiesz o tymx​² nigdy nie jest ujemna. Widać również, że wykres jest symetryczny wokółtak-axis, co również ma sens, ponieważ każdemu dodatniemu pierwiastkowi kwadratowemu danej liczby towarzyszy ujemny pierwiastek kwadratowy tej samej wielkości. Dlatego z wyjątkiem 0, cotakwartość na wykresietak​ = ​x​² kojarzy się z dwomax-wartości.

Jednym ze sposobów ręcznego rozwiązywania podstawowych problemów z pierwiastkami kwadratowymi jest szukanie idealnych kwadratów „ukrytych” w zadaniu. Po pierwsze, ważne jest, aby zdawać sobie sprawę z kilku istotnych właściwości kwadratów i pierwiastków kwadratowych. Jednym z nich jest to, że tak jak √x​² jest po prostu równax(ponieważ radykał i wykładnik znoszą się nawzajem):

Oznacza to, że jeśli masz idealny kwadrat pod radykalnym pomnożeniem innej liczby, możesz go „wyciągnąć” i użyć jako współczynnika tego, co pozostaje. Na przykład wracając do pierwiastka kwadratowego z 50

Czasami możesz skończyć z liczbą zawierającą pierwiastki kwadratowe, która jest wyrażona jako ułamek, ale nadal jest liczbą niewymierną, ponieważ mianownik, licznik lub oba zawierają pierwiastek. W takich przypadkach możesz zostać poproszony o racjonalizację mianownika. Na przykład liczba

ma radykał zarówno w liczniku, jak i mianowniku. Ale po przeanalizowaniu liczby „45” możesz rozpoznać ją jako iloczyn 9 i 5, co oznacza, że

Dlatego ułamek można zapisać

Radykały znoszą się nawzajem i pozostaje 6/3 = 2.