Algebra to pierwszy prawdziwy skok pojęciowy, który uczniowie muszą zrobić w świecie matematyki, ucząc się manipulowania zmiennymi i pracy z równaniami. Rozpoczynając pracę z równaniami, napotkasz kilka typowych wyzwań, takich jak wykładniki, ułamki i wiele zmiennych. Wszystko to można opanować za pomocą kilku podstawowych strategii.
Podstawowa strategia dla równań algebraicznych
Podstawową strategią rozwiązywania dowolnego równania algebraicznego jest najpierw wyizolowanie wyrazu zmiennej z jednej strony równania, a następnie w razie potrzeby zastosuj operacje odwrotne, aby usunąć wszelkie współczynniki lub wykładniki. Operacja odwrotna „cofa” inną operację; na przykład dzielenie „cofa” mnożenie współczynnika, a pierwiastki kwadratowe „cofają” operację podniesienia do kwadratu wykładnika drugiej potęgi.
Zauważ, że jeśli zastosujesz operację po jednej stronie równania, musisz zastosować tę samą operację po drugiej stronie równania. Zachowując tę zasadę, możesz zmienić sposób pisania terminów równania bez zmiany ich wzajemnego związku.
Rozwiązywanie równań z potęgami
Rodzaje równań z wykładnikami, które napotkasz podczas swojej podróży z algebrą, mogą z łatwością wypełnić całą książkę. Na razie skup się na opanowaniu najbardziej podstawowych równań wykładniczych, w których masz pojedynczy wyraz zmienny z wykładnikiem. Na przykład:
y^2 + 3 = 19
Odejmij 3 od obu stron równania, pozostawiając wyraz zmienny izolowany po jednej stronie:
y^2 = 16
Usuń wykładnik ze zmiennej przez zastosowanie rodnika o tym samym indeksie. Pamiętaj, że musisz to zrobić po obu stronach równania. W tym przypadku oznacza to wyciągnięcie pierwiastka kwadratowego z obu stron:
\sqrt{y^2} = \sqrt{16}
Co upraszcza do:
y = 4
Rozwiązywanie równań z ułamkami
A jeśli twoje równanie zawiera ułamek? Rozważ przykład example
\frac{3}{4}(x + 7) = 6
Jeśli rozłożysz ułamek 3/4 w poprzek (x+ 7), sprawy mogą szybko stać się bałaganem. Oto znacznie prostsza strategia.
Pomnóż obie strony równania przez mianownik ułamka. W tym przypadku oznacza to pomnożenie obu stron ułamka przez 4:
\frac{3}{4}(x + 7) × 4 = 6 × 4
Uprość obie strony równania. Działa to na:
3(x + 7) = 24
Możesz ponownie uprościć, w wyniku czego:
3x + 21 = 24
Odejmij 21 od obu stron, izolując człon zmienny po jednej stronie równania:
3x = 3
Na koniec podziel obie strony równania przez 3, aby zakończyć rozwiązywanie dlax:
x = 1
Rozwiązywanie jednego równania z dwiema zmiennymi
Jeśli maszjedenrównania z dwiema zmiennymi, prawdopodobnie zostaniesz poproszony o rozwiązanie tylko jednej z tych zmiennych. W takim przypadku postępuje się zgodnie z tą samą procedurą, jak w przypadku dowolnego równania algebraicznego z jedną zmienną. Rozważ przykład
5x + 4 = 2 lata
jeśli zostaniesz poproszony o rozwiązaniex.
Odejmij 3 od każdej strony równania, pozostawiającxsam termin po jednej stronie znaku równości:
5x = 2 lata - 4
Podziel obie strony równania przez 5, aby usunąć współczynnik zxsemestr:
x = \frac{2y - 4}{5}
Jeśli nie otrzymałeś żadnych innych informacji, to tylko tyle, ile możesz wykonać obliczenia.
Rozwiązywanie dwóch równań z dwiema zmiennymi
Jeśli masz system (lub grupę)dwarównania, które mają w sobie te same dwie zmienne, zwykle oznacza to, że równania są ze sobą powiązane – i możesz użyć techniki zwanej substytucją, aby znaleźć wartości dla obu zmiennych. Rozważ równanie z ostatniego przykładu oraz drugie, powiązane równanie, które wykorzystuje te same zmienne:
5x + 4 = 2y \\ x + 3y = 23
Wybierz jedno równanie i rozwiąż je dla jednej ze zmiennych. W takim przypadku skorzystaj z tego, co już wiesz o pierwszym równaniu z poprzedniego przykładu, dla którego już rozwiązałeśx:
x = \frac{2y - 4}{5}
Zastąp wynik z kroku 1 w innym równaniu. Innymi słowy, zastąp wartość (2tak– 4)/5 dla wszelkich przypadkówxw drugim równaniu. Daje to równanie z tylko jedną zmienną:
\frac{2y – 4}{5} + 3 lata = 23
Uprość równanie z kroku 2 i znajdź pozostałą zmienną, którą w tym przypadku jesttak.
Zacznij od pomnożenia obu stron przez 5:
5 × \bigg( \frac{2y - 4}{5} + 3y\bigg) = 5 × 23
Upraszcza to do:
2 lata - 4 + 15 lat = 115
Po połączeniu podobnych terminów upraszcza się to dalej:
17 lat = 119
I wreszcie, po podzieleniu obu stron przez 17, otrzymujesz:
y = 7
Zastąp wartość z kroku 3 równaniem z kroku 1. To daje:
x = \frac{(2 × 7) - 4}{5}
Co upraszcza ujawnienie wartościx:
x = 2
Zatem rozwiązaniem tego układu równań jestx= 2 itak = 7.