Funkcja wyraża relacje między stałymi a co najmniej jedną zmienną. Na przykład funkcja f (x) = 5x + 10 wyraża związek między zmienną x a stałymi 5 i 10. Znane jako pochodne i wyrażone jako dy/dx, df(x)/dx lub f'(x), różniczkowanie znajduje tempo zmian jednej zmiennej względem innej -- w przykładzie f (x) względem x. Różnicowanie jest przydatne do znalezienia optymalnego rozwiązania, czyli znalezienia warunków maksymalnych lub minimalnych. Istnieją pewne podstawowe zasady dotyczące funkcji różniczkowania.
Rozróżnij stałą funkcję. Pochodna stałej wynosi zero. Na przykład, jeśli f (x) = 5, to f’(x) = 0.
Zastosuj regułę potęgi, aby zróżnicować funkcję. Reguła potęgi mówi, że jeśli f (x) = x^n lub x podniesione do potęgi n, to f'(x) = nx^(n - 1) lub x podniesione do potęgi (n - 1) i pomnożone przez Na przykład, jeśli f (x) = 5x, to f'(x) = 5x^(1 - 1) = 5. Podobnie, jeśli f (x) = x^10, to f'(x) = 9x^9; a jeśli f (x) = 2x^5 + x^3 + 10, to f'(x) = 10x^4 + 3x^2.
Znajdź pochodną funkcji, korzystając z reguły iloczynu. Różniczka iloczynu nie jest iloczynem różniczek jego poszczególnych składowych: Jeśli f (x) = uv, gdzie u i v są dwiema oddzielnymi funkcjami, wtedy f'(x) nie jest równe f'(u) pomnożone przez f'(v). Raczej pochodna iloczynu dwóch funkcji to pierwszy razy pochodna drugiej plus drugi razy pochodna pierwszej. Na przykład, jeśli f (x) = (x^2 + 5x) (x^3), pochodne tych dwóch funkcji to odpowiednio 2x + 5 i 3x^2. Następnie, używając reguły iloczynu, f'(x) = (x^2 + 5x) (3x^2) + (x^3) (2x + 5) = 3x^4 + 15x^3 + 2x^4 + 5x ^3 = 5x^4 + 20x^3.
Pobierz pochodną funkcji używając reguły ilorazu. Iloraz to jedna funkcja podzielona przez drugą. Pochodna ilorazu równa się mianownik razy pochodna licznika minus licznik razy pochodna mianownika, a następnie podzielona przez mianownik do kwadratu. Na przykład, jeśli f (x) = (x^2 + 4x) / (x^3), pochodne funkcji licznika i mianownika to odpowiednio 2x + 4 i 3x^2. Następnie, korzystając z reguły ilorazu, f'(x) = [(x^3) (2x + 4) - (x^2 + 4x) (3x^2)] / (x^3)^2 = (2x^ 4 + 4x^3 - 3x^4 - 12x^3) / x^6 = (-x^4 - 8x^3) / x^6.
Użyj typowych pochodnych. Pochodne wspólnych funkcji trygonometrycznych, które są funkcjami kątów, nie muszą być wyprowadzane z pierwszych zasad - pochodne sin x i cos x to odpowiednio cos x i -sin x. Pochodną funkcji wykładniczej jest sama funkcja -- f(x) = f’(x) = e^x, a pochodną funkcji logarytmicznej naturalnej, ln x, wynosi 1/x. Na przykład, jeśli f (x) = sin x + x^2 - 4x + 5, to f'(x) = cos x + 2x - 4.