Czym jest nierówność?

Kiedy zaczynasz uczyć się algebry, znak równości jest używany do oznaczenia, całkiem dosłownie, że te dwie rzeczy są sobie równe. Na przykład 3 = 3, 5 = 3 + 2, jabłko = jabłko, gruszka = gruszka i tak dalej, które są przykładami równań. Dla porównania, nierówność daje dwie informacje: po pierwsze, że porównywane rzeczy sąnierówny, a przynajmniej nie zawsze równy; a po drugie, w jaki sposób są nierówne.

Nierówność jest zapisywana dokładnie tak, jak pisze się równanie, z tym wyjątkiem, że zamiast używać znaku równości, używa się jednego ze znaków nierówności. Są „>” vel „większe niż”, „ i inierówny.

Wizualna reprezentacja – czyli wykres – nierówności to kolejny sposób na zobrazowanie tego, co naprawdę oznacza nierówność. Wykreślanie nierówności jest również czymś, o co zostaniesz poproszony na lekcjach matematyki. Wyobraź sobie następujące równanie:

Gdybyś miał to wykreślić, byłaby to ukośna linia przechodząca prosto przez początek, pod kątem w górę iw prawo o nachyleniu 1 lub, jeśli wolisz, 1/1. Wszystkie możliwe rozwiązania równania leżą na tej linii i tylko na tej linii.

Ale co by było, gdyby zamiast równania miałeś nierówność?

Ten konkretny symbol nierówności zostałby odczytany jako „mniejszy lub równy” i mówi ci, żex​ = ​takjest możliwym rozwiązaniem, wraz z każdą kombinacją, w którejxjest mniej niżtak​.

Więc linia reprezentującax​ = ​takpozostaje możliwym rozwiązaniem i wciągniesz go jak zwykle. Ale zacieniłbyś również obszar po lewej stronie linii, ponieważ każda wartość, gdziexjest mniej niżtakjest również zawarte w Twoich rozwiązaniach.

Jeśli zamiastx​ ≤ ​takmiałeś ścisłą nierównośćx​ < ​tak, wykreśliłbyś to dokładnie tak samo jakx​ ≤ ​tak,z wyjątkiem tego, ponieważx​ = ​taknie jest już opcją, nie narysowałbyś tej linii solidnie. Zamiast tego rysujeszx​ = ​takw postaci przerywanej lub przerywanej linii, pokazującej, że chociaż nie jest częścią zestawu rozwiązań, nadal jest granicą między poprawnym zestawem rozwiązań (w tym przypadku po lewej stronie linii) a nierozwiązaniami po drugiej stronie linia.

W większości przypadków rozwiązywanie nierówności działa dokładnie tak samo, jak rozwiązywanie równań. Na przykład, jeśli masz do czynienia z prostym równaniem

dzielisz obie strony przez 2, aby uzyskać odpowiedźx​ = 3.

Zrobiłbyś to samo, gdybyś zamiast tego miał do czynienia z tymi samymi liczbami, co nierówność: Powiedzmy 2x≥ 6. Podzielisz obie strony przez 2 i dojdziesz do rozwiązaniax≥ 3 lub, aby napisać w prostym języku angielskim,xreprezentuje wszystkie liczby większe lub równe 3.

Możesz także dodawać i odejmować liczby po obu stronach nierówności, tak jak w przypadku równań, lub dzielić przez tę samą liczbę po obu stronach.

Jest jednak jeden godny uwagi wyjątek, na który należy zwrócić uwagę: jeśli pomnożysz lub podzielisz obie strony nierówności przez liczbę ujemną, musisz odwrócić kierunek znaku nierówności. Rozważmy na przykład nierówność -4tak​ > 24.

Izolowaćtak, musisz podzielić obie strony przez -4. To twój wyzwalacz do zmiany kierunku znaku nierówności. Więc po podzieleniu masz:

Zauważ, że zbiór rozwiązań dla podanej właśnie nierówności zawiera -7, -8, -7.5, -9.23 i nieskończoną liczbę innych rozwiązań, które są mniejsze niż -6, ale nie -6, ponieważ znak nierówności nie ma dodatkowej kreski dla „lub równego”. Więc aby sprawdzić swoją pracę, upewnij się, że zastępujesz wartości ze swojego rozwiązania zestaw.

Jeśli podstawisz -6 do oryginalnej nierówności, otrzymasz -4 × -6 > 24 lub 24 > 24, co nie ma sensu. Nie powinno, ponieważ -6 nie jest zawarte w zestawie rozwiązań. Ale jeśli miałbyś zacząć zastępować wartości, któresązawarte w zestawie rozwiązań, takie jak -7, otrzymasz prawidłowe wyniki. Na przykład:

co upraszcza:

co jest prawidłowym wynikiem.