Jak wykorzystuje się faktoryzację wielomianów w życiu codziennym?

Faktoryzacja wielomianu odnosi się do znajdowania wielomianów niższego rzędu (najwyższy wykładnik jest niższy), które pomnożone razem dają wielomian podlegający rozkładowi. Na przykład x^2 - 1 można rozłożyć na czynniki x - 1 i x + 1. Kiedy te czynniki zostaną pomnożone, -1x i +1x znoszą się, pozostawiając x^2 i 1.

Niestety faktoring nie jest potężnym narzędziem, co ogranicza jego zastosowanie w życiu codziennym i dziedzinach technicznych. Wielomiany są mocno manipulowane w szkole podstawowej, aby można je było rozłożyć na czynniki. W życiu codziennym wielomiany nie są tak przyjazne i wymagają bardziej wyrafinowanych narzędzi analizy. Wielomianu tak prostego jak x^2 + 1 nie można rozkładać na czynniki bez użycia liczb zespolonych, tj. liczb zawierających i = √(-1). Wielomiany rzędu tak niskie jak 3 mogą być zbyt trudne do rozłożenia na czynniki. Na przykład x^3 - y^3 rozkłada się na (x - y)(x^2 + xy + y^2), ale nie rozkłada się dalej bez uciekania się do liczb zespolonych.

Wielomiany drugiego rzędu, np. x^2 + 5x + 4, są regularnie uwzględniane w klasach algebry, około ósmej lub dziewiątej klasy. Cel faktoringu takie funkcje mają wtedy być w stanie rozwiązywać równania wielomianów. Na przykład rozwiązanie x^2 + 5x + 4 = 0 to pierwiastki x^2 + 5x + 4, czyli -1 i -4. Umiejętność znalezienia korzeni takich wielomianów jest podstawą rozwiązywania problemów na zajęciach z przedmiotów ścisłych w ciągu najbliższych 2-3 lat. Wzory drugiego rzędu pojawiają się regularnie w takich klasach, np. w problemach z pociskami i obliczeniach równowagi kwasowo-zasadowej.

Wymyślając lepsze narzędzia do zastąpienia faktoringu, musisz przede wszystkim przypomnieć sobie, jaki jest cel faktoringu: rozwiązywanie równań. Formuła kwadratowa to sposób na obejście trudności w rozkładaniu na czynniki niektórych wielomianów, a jednocześnie służy do rozwiązywania równania. W przypadku równań wielomianów drugiego rzędu (tj. postaci ax^2 + bx + c) wzór kwadratowy służy do znalezienia pierwiastków wielomianu, a zatem rozwiązania równania. Wzór kwadratowy to x = [-b +/- √(b^2 - 4ac)] / [2a], gdzie +/- oznacza „plus lub minus”. Zauważ, że nie ma potrzeby pisania (x - root1)(x - root2) = 0. Zamiast faktoryzacji w celu rozwiązania równania, rozwiązanie formuły można rozwiązać bezpośrednio, bez faktoryzacji jako kroku pośredniego, chociaż metoda opiera się na faktoryzacji.

Nie oznacza to, że faktoring jest zbędny. Gdyby uczniowie nauczyli się równania kwadratowego rozwiązywania równań wielomianów bez uczenia się faktoryzacji, zrozumienie równania kwadratowego uległoby zmniejszeniu.

Nie oznacza to, że rozkład wielomianów nigdy nie jest wykonywany poza zajęciami z algebry, fizyki i chemii. Podręczne kalkulatory finansowe wykonują codzienne obliczanie odsetek przy użyciu formuły, która jest faktoryzacją przyszłych płatności z wycofanym składnikiem odsetek (patrz diagram). W równaniach różniczkowych (równaniach szybkości zmian) dokonuje się faktoryzacji wielomianów pochodnych (szybkości zmian) w celu rozwiązania tzw. równania arbitralnego porządku”. Innym przykładem jest rachunek wstępny, w metodzie ułamków częściowych do całkowania (wyznaczając pole powierzchni pod krzywą) łatwiej.

Te przykłady są oczywiście dalekie od codzienności. A kiedy faktoring staje się trudny, mamy kalkulatory i komputery, które załatwią sprawę. Zamiast oczekiwać dopasowania jeden do jednego między nauczanym tematem matematycznym a codziennymi obliczeniami, spójrz na przygotowanie, które ten temat zapewnia do bardziej praktycznej nauki. Faktoring należy docenić za to, czym jest: odskocznią do nauki metod rozwiązywania coraz bardziej realistycznych równań.