Równanie płaszczyzny w przestrzeni trójwymiarowej można zapisać w notacji algebraicznej jako ax + przez + cz = d, gdzie co najmniej jeden z stałe liczb rzeczywistych „a”, „b” i „c” nie mogą wynosić zero, a „x”, „y” i „z” reprezentują osie trójwymiarowego samolot. Jeśli podano trzy punkty, płaszczyznę można określić za pomocą produktów krzyżowych wektorowych. Wektor to linia w przestrzeni. Iloczyn krzyżowy to mnożenie dwóch wektorów.
Zdobądź trzy punkty w samolocie. Oznacz je „A”, „B” i „C”. Na przykład załóżmy, że te punkty to A = (3, 1, 1); B = (1, 4, 2); i C = (1, 3, 4).
Znajdź dwa różne wektory w samolocie. W przykładzie wybierz wektory AB i AC. Wektor AB przechodzi z punktu A do punktu B, a wektor AC przechodzi z punktu A do punktu C. Odejmij więc każdą współrzędną w punkcie-A od każdej współrzędnej w punkcie-B, aby otrzymać wektor AB: (-2, 3, 1). Podobnie wektor AC to punkt-C minus punkt-A lub (-2, 2, 3).
Oblicz iloczyn poprzeczny dwóch wektorów, aby otrzymać nowy wektor, który jest normalny (lub prostopadły lub ortogonalny) do każdego z dwóch wektorów, a także do płaszczyzny. Iloczyn krzyżowy dwóch wektorów (a1, a2, a3) i (b1, b2, b3) jest podany przez N = i (a2b3 - a3b2) + j (a3b1 - a1b3) + k (a1b2 - a2b1). W tym przykładzie iloczyn poprzeczny N AB i AC wynosi i[(3 x 3) - (1 x 2)] + j[(1 x -2) - (-2 x 3)] + k[( -2 x 2) - (3x - 2)], co upraszcza do N = 7i + 4j + 2k. Zauważ, że „i”, „j” i „k” są używane do reprezentowania współrzędnych wektora.
Wyprowadź równanie płaszczyzny. Równanie płaszczyzny to Ni (x - a1) + Nj (y - a2) + Nk (z - a3) = 0, gdzie (a1, a2, a3) jest dowolnym punktem na płaszczyźnie i (Ni, Nj, Nk ) jest wektorem normalnym, N. W przykładzie, używając punktu C, którym jest (1, 3, 4), równanie płaszczyzny to 7(x - 1) + 4(y - 3) + 2(z - 4) = 0, co upraszcza się do 7x - 7 + 4y - 12 + 2z - 8 = 0 lub 7x + 4y + 2z = 27.
Zweryfikuj swoją odpowiedź. Zastąp oryginalne punkty, aby sprawdzić, czy spełniają równanie płaszczyzny. Podsumowując przykład, jeśli podstawisz dowolny z trzech punktów, zobaczysz, że równanie płaszczyzny jest rzeczywiście spełnione.
Wskazówki
Zobacz Zasoby, aby uzyskać wskazówki, jak używać układów trzech równoczesnych równań do znalezienia równania samolotu.