Szereg Taylora to numeryczna metoda reprezentacji danej funkcji. Ta metoda ma zastosowanie w wielu dziedzinach inżynierii. W niektórych przypadkach, takich jak wymiana ciepła, analiza różniczkowa daje w wyniku równanie pasujące do postaci szeregu Taylora. Szereg Taylora może również reprezentować całkę, jeśli całka tej funkcji nie istnieje analitycznie. Te reprezentacje nie są wartościami dokładnymi, ale obliczenie większej liczby wyrazów w szeregu sprawi, że przybliżenie będzie dokładniejsze.
Wybierz centrum dla serii Taylor. Ta liczba jest dowolna, ale dobrym pomysłem jest wybranie środka, w którym występuje symetria funkcji lub gdzie wartość środka upraszcza matematykę problemu. Jeśli obliczasz reprezentację f (x) = sin (x) w szeregu Taylora, dobrym środkiem do użycia jest a = 0.
Określ liczbę terminów, które chcesz obliczyć. Im więcej terminów użyjesz, tym dokładniejsza będzie twoja reprezentacja, ale ponieważ szereg Taylora jest szeregiem nieskończonym, nie jest możliwe uwzględnienie wszystkich możliwych terminów. W przykładzie z grzechem (x) będziemy używać sześciu terminów.
Oblicz pochodne potrzebne do serii. W tym przykładzie musisz obliczyć wszystkie pochodne do szóstej pochodnej. Ponieważ szereg Taylora zaczyna się od „n = 0”, musisz uwzględnić „0-tą” pochodną, która jest po prostu pierwotną funkcją. 0. pochodna = sin (x) 1. = cos (x) 2. = -sin (x) 3. = -cos (x) 4. = sin (x) 5. = cos (x) 6. = -sin (x)
Oblicz wartość dla każdej pochodnej w wybranym centrum. Te wartości będą licznikami dla pierwszych sześciu wyrazów szeregu Taylora. sin (0) = 0 cos (0) = 1 -sin (0) = 0 -cos (0) = -1 sin (0) = 0 cos (0) = 1 -sin (0) = 0
Użyj obliczeń pochodnych i wyśrodkuj, aby określić wyrazy szeregu Taylora. I kadencja; n = 0; (0/0!)(x - 0)^0 = 0/1 2-gi termin; n = 1; (1/1!)(x - 0)^1 = x/1! III kadencja; n = 2; (0/2!)(x - 0)^2 = 0/2! IV kadencja; n = 3; (-1/3!)(x - 0)^3 = -x^3/3! V kadencja; n = 4; (0/4!)(x - 0)^4 = 0/4! VI kadencja; n = 5; (1/5!)(x - 0)^5 = x^5/5! Szereg Taylora dla sin (x): sin (x) = 0 + x/1! + 0 - (x^3)/3! + 0 +(x^5)/5! + ...
Upuść wyrazy zerowe w szeregu i uprość wyrażenie algebraicznie, aby określić uproszczoną reprezentację funkcji. Będzie to zupełnie inna seria, więc wartości dla „n” użyte wcześniej nie mają już zastosowania. grzech (x) = 0 + x/1! + 0 - (x^3)/3! + 0 +(x^5)/5! +... grzech (x) = x/1! - (x^3)/3! +(x^5)/5! -... Ponieważ znaki zmieniają się między dodatnimi i ujemnymi, pierwszą składową uproszczonego równania musi być (-1)^n, ponieważ w szeregu nie ma parzystych liczb. Wyrażenie (-1)^n daje znak ujemny, gdy n jest nieparzyste, a znak dodatni, gdy n jest parzyste. Szeregowa reprezentacja liczb nieparzystych to (2n + 1). Gdy n = 0, wyraz ten jest równy 1; gdy n = 1, ten wyraz jest równy 3 i tak dalej do nieskończoności. W tym przykładzie użyj tej reprezentacji dla wykładników x i silni w mianowniku
Użyj reprezentacji funkcji zamiast oryginalnej funkcji. W przypadku bardziej zaawansowanych i trudniejszych równań szereg Taylora może sprawić, że nierozwiązywalne równanie będzie rozwiązywalne lub przynajmniej dać rozsądne rozwiązanie numeryczne.