Zanim zaczniesz upraszczać lub w inny sposób manipulować wyrażeniami wymiernymi, poświęć chwilę, aby przejrzeć, co samo wyrażenie wymierne to: ułamek z wielomianem w liczniku i mianowniku. Lub, ujmując to inaczej, stosunek jednego wielomianu do drugiego. Po zidentyfikowaniu wyrażenia wymiernego proces jego upraszczania sprowadza się do trzech kroków.
Kroki w upraszczaniu wyrażeń racjonalnych R
Proces upraszczania funkcji wymiernych przebiega według dość prostej mapy drogowej. Pierwszą rzeczą, którą musisz zrobić, to połączyć terminy podobne, jeśli jeszcze tego nie zrobiłeś, aby pomóc ci wyraźnie zobaczyć wielomiany.
Następnie rozłóż każdy wielomian na czynniki. Czasami wystarczy napisać każdy termin. Na przykład jasne jest, że 4x (który w rzeczywistości jest wielomianem, chociaż ma tylko jeden wyraz) ma dwa czynniki: 4 i x. Ale w przypadku bardziej skomplikowanych wielomianów najlepszym narzędziem jest często rozpoznawanie wzorców dla określonych typów wielomianów, o których już się dowiedziałeś. Na przykład, jeśli zwracałeś szczególną uwagę na swoje formuły, możesz pamiętać, że wielomian postaci
za2 - b2 czynniki do (a + b)(a - b).Po całkowitym rozłożeniu wielomianów na czynniki, ostatnim krokiem jest anulowanie wszystkich wspólnych czynników, które pojawiają się zarówno w liczniku, jak i mianowniku. Wynikiem jest uproszczony wielomian.
Wskazówki
Co się stanie, jeśli wielomiany w twoim wyrażeniu wymiernym nie mają formy, którą potrafisz łatwo rozłożyć na czynniki? Istnieją inne techniki, których możesz użyć do rozłożenia na czynniki, takie jak wypełnienie kwadratu lub użycie wzoru kwadratowego.
Ostrzeżenie o mianowniku
Możesz nie być zaskoczony słysząc, że jest tu mały haczyk. Zazwyczaj domena (lub zbiór możliwych x wartości) dla wyrażenia wymiernego przyjmuje się, że jest zbiorem wszystkich liczb rzeczywistych. Ale jeśli zdarzy się coś, co sprawi, że mianownik twojego ułamka będzie równy zero, wynikiem będzie ułamek nieokreślony.
Co sprawi, że twój mianownik będzie zero? Zwykle wystarczy małe badanie, aby się tego dowiedzieć. Na przykład, jeśli mianownik twojego ułamka został zredukowany do czynników (x + 2) (x - 2), to wartość x = -2 sprawi, że pierwszy czynnik będzie równy zero, a x = 2 sprawi, że drugi czynnik będzie równy zero.
Tak więc obie te wartości, -2 i 2, muszą być wyłączone z domeny twojego racjonalnego wyrażenia. Zwykle zaznaczysz to znakiem „nie równy” lub ≠. Na przykład, jeśli chcesz wykluczyć -2 i 2 z domeny, napiszesz x -2, 2.
Upraszczanie wyrażeń wymiernych: przykłady
Teraz, gdy rozumiesz już proces upraszczania wyrażeń wymiernych, nadszedł czas na przyjrzenie się kilku przykładom.
Przykład 1: Uprość wyrażenie wymierne (x2 - 4) / (x2+ 4x + 4)
Nie ma tutaj podobnych terminów do połączenia, więc możesz pominąć ten pierwszy krok. Następnie, dzięki swoim bystrym oczom i odrobinie praktyki, możesz zauważyć, że licznik i mianownik są łatwe do rozłożenia na czynniki:
(x + 2)(x - 2) / (x + 2) (x + 2)
Być może też to zauważysz (x + 2) jest czynnikiem zarówno w liczniku, jak i mianowniku. Po anulowaniu współczynnika współdzielonego pozostaniesz z:
(x - 2) / (x + 2)
Uprościłeś swoje racjonalne wyrażenie tak bardzo, jak możesz, ale jest jeszcze jedna rzecz do zrobienia: Zidentyfikuj wszelkie „zera” lub pierwiastki, które dałyby niezdefiniowany ułamek, więc możesz je wykluczyć z domena. W tym przypadku łatwo jest stwierdzić, badając, kiedy x = -2, współczynnik na dole będzie równy zero. Więc twoje uproszczone wyrażenie wymierne to tak naprawdę:
(x - 2) / (x + 2), x ≠ -2
Przykład 2: Uprość wyrażenie wymierne x / (x2 - 4x)
Nie ma podobnych terminów do połączenia, więc możesz przejść od razu do faktoringu poprzez badanie. Nietrudno zauważyć, że można rozłożyć i x z dolnego terminu, co daje:
x / x (x - 4)
Możesz anulować x czynnik zarówno z licznika, jak i mianownika, co daje:
1 / (x - 4)
Teraz twoje wymierne wyrażenie jest uproszczone, ale musisz również zanotować wszystkie x wartości, które dałyby niezdefiniowany ułamek. W tym przypadku, x = 4 zwróci wartość zero w mianowniku. Więc twoja odpowiedź brzmi:
1 / (x - 4), x 4
