Rozwiązywanie nierówności wartości bezwzględnych jest bardzo podobne do rozwiązywania równań wartości bezwzględnych, ale należy pamiętać o kilku dodatkowych szczegółach. Pomaga już czuć się komfortowo rozwiązywanie równań wartości bezwzględnych, ale jest w porządku, jeśli uczysz się ich razem!
Definicja nierówności wartości bezwzględnej
Przede wszystkimnierówność wartości bezwzględnejto nierówność, która wiąże się z wyrażeniem wartości bezwzględnej. Na przykład,
| 5 + x | - 10 > 6
jest nierównością wartości bezwzględnej, ponieważ ma znak nierówności > i wyrażenie wartości bezwzględnej | 5 +x |.
Jak rozwiązać problem nierówności wartości bezwzględnej?
kroki do rozwiązania nierówności wartości bezwzględnejsą bardzo podobne do kroków rozwiązywania równania wartości bezwzględnej:
Krok 1:Wyizoluj wyrażenie wartości bezwzględnej po jednej stronie nierówności.
Krok 2:Rozwiąż pozytywną „wersję” nierówności.
Krok 3:Rozwiąż ujemną „wersję” nierówności, mnożąc ilość po drugiej stronie nierówności przez -1 i odwracając znak nierówności.
To dużo do ogarnięcia na raz, więc oto przykład, który poprowadzi Cię przez kolejne kroki.
Rozwiąż nierówność dlax:
| 5 + 5x | - 3 > 2
Aby to zrobić, zdobądź | 5 + 5x| po lewej stronie nierówności. Wystarczy dodać 3 z każdej strony:
| 5 + 5x | - 3 + 3 > 2 + 3 \\ | 5 + 5x | > 5.
Teraz są dwie „wersje” nierówności, które musimy rozwiązać: pozytywna „wersja” i negatywna „wersja”.
Na tym etapie przyjmiemy, że rzeczy są takie, jak wyglądają: że 5 + 5x > 5.
| 5 + 5x | > 5 → 5 + 5x > 5
To jest prosta nierówność; po prostu musisz rozwiązaćxjak zwykle. Odejmij 5 od obu stron, a następnie podziel obie strony przez 5.
\begin{aligned} &5 + 5x > 5 \\ &5 + 5x - 5 > 5 - 5 \quad \text{(odejmij pięć z obu stron)} \\ &5x > 0 \\ &5x (÷ 5) > 0 (÷ 5) \quad \text{(podziel obie strony przez pięć)} \\ &x > 0 \end{aligned}
Nie jest zły! Tak więc jednym z możliwych rozwiązań naszej nierówności jest tox> 0. Teraz, ponieważ w grę wchodzą wartości bezwzględne, czas rozważyć inną możliwość.
Aby zrozumieć ten następny fragment, warto pamiętać, co oznacza wartość bezwzględna.Całkowita wartośćmierzy odległość liczby od zera. Odległość jest zawsze dodatnia, więc 9 to dziewięć jednostek od zera, ale -9 to także dziewięć jednostek od zera.
Więc | 9 | = 9, ale | -9 | = 9 również.
Wróćmy teraz do powyższego problemu. Powyższa praca wykazała, że | 5 + 5x| > 5; innymi słowy, bezwzględna wartość „czegoś” jest większa niż pięć. Teraz każda liczba dodatnia większa niż pięć będzie dalej od zera niż pięć. Więc pierwszą opcją było to „coś”, 5 + 5x, jest większy niż 5.
To jest:
5 + 5x > 5
To jest scenariusz omówiony powyżej, w kroku 2.
Teraz pomyśl trochę dalej. Co jeszcze jest pięć jednostek od zera? Cóż, ujemna piątka to. A wszystko dalej na osi liczbowej od minus pięć będzie jeszcze dalej od zera. Więc nasze „coś” może być liczbą ujemną, która jest dalej od zera niż ujemna piątka. To znaczy, że byłaby to wyższa, brzmiąca liczba, ale techniczniemniej niżminus pięć, ponieważ porusza się w kierunku ujemnym na osi liczbowej.
Więc nasze „coś”, 5 + 5x, może być mniejsze niż -5.
5 + 5x < -5
Szybkim sposobem na zrobienie tego algebraicznie jest pomnożenie wielkości po drugiej stronie nierówności, 5, przez ujemną, a następnie odwrócenie znaku nierówności:
| 5 + 5x | > 5 → 5 + 5x < - 5
Następnie rozwiąż jak zwykle.
\begin{aligned} &5 + 5x < -5 \\ &5 + 5x - 5 < -5 - 5 \quad \text{(odejmij 5 z obu stron)} \\ &5x < -10 \\ &5x (÷ 5) < -10 (÷ 5) \\ &x < - 2 \end{aligned}
Zatem dwa możliwe rozwiązania nierówności to:x> 0 lubx< −2. Sprawdź się, podłączając kilka możliwych rozwiązań, aby upewnić się, że nierówność nadal jest prawdziwa.
Nierówności wartości bezwzględnych bez rozwiązania
Istnieje scenariusz, w którym byłbybrak rozwiązań nierówności wartości bezwzględnych. Ponieważ wartości bezwzględne są zawsze dodatnie, nie mogą być równe ani mniejsze od liczb ujemnych.
Więc |x| < -2 mabrak rozwiązaniaponieważ wynik wyrażenia wartości bezwzględnej musi być dodatni.
Notacja interwałowa
Aby napisać rozwiązanie naszego głównego przykładu wnotacja interwałowa, zastanów się, jak wygląda rozwiązanie na osi liczbowej. Naszym rozwiązaniem byłox> 0 lubx< −2. Na osi liczbowej jest to otwarta kropka przy 0, z linią biegnącą do dodatniej nieskończoności i otwarta kropka przy -2 z linią sięgającą do ujemnej nieskończoności. Te rozwiązania wskazują od siebie, a nie na siebie, więc weź każdy kawałek osobno.
Dla x > 0 na osi liczbowej jest otwarta kropka na zerze, a następnie linia ciągnąca się w nieskończoność. W notacji interwałowej otwarta kropka jest zilustrowana nawiasami, ( ), a zamknięta kropka lub nierówności z ≥ lub ≤ używałyby nawiasów [ ]. Więc dlax> 0, napisz (0, ∞).
Druga połowa,x< -2, na osi liczbowej znajduje się otwarta kropka przy -2, a następnie strzałka sięgająca aż do -∞. W notacji interwałowej jest to (−∞, −2).
„Lub” w notacji interwałowej to znak unii, ∪.
Zatem rozwiązaniem w notacji interwałowej jest
( −∞, −2) ∪ (0, ∞)