Nic tak nie psuje równania jak logarytmy. Są nieporęczne, trudne do manipulowania i dla niektórych trochę tajemnicze. Na szczęście istnieje prosty sposób na pozbycie się z równania tych nieznośnych wyrażeń matematycznych. Wystarczy pamiętać, że logarytm jest odwrotnością wykładnika. Chociaż podstawą logarytmu może być dowolna liczba, najczęściej używanymi podstawami w nauce są 10 i e, która jest liczbą niewymierną znaną jako liczba Eulera. Aby je rozróżnić, matematycy używają „log”, gdy podstawa wynosi 10 i „ln”, gdy podstawa to e.
TL; DR (zbyt długi; Nie czytałem)
Aby pozbyć się równania logarytmów, podnieś obie strony do tego samego wykładnika co podstawa logarytmów. W równaniach z wyrażeniami mieszanymi zbierz wszystkie logarytmy po jednej stronie i najpierw uprość.
Co to jest logarytm?
Pojęcie logarytmu jest proste, ale trochę trudne do ujęcia w słowa. Logarytm to liczba razy, kiedy trzeba pomnożyć liczbę przez samą liczbę, aby uzyskać inną liczbę. Innym sposobem powiedzenia tego jest to, że logarytm to potęga, do której pewna liczba – zwana podstawą – musi zostać podniesiona, aby uzyskać inną liczbę. Potęga nazywana jest argumentem logarytmu.
Na przykład log82 = 64 oznacza po prostu, że podniesienie 8 do potęgi 2 daje 64. W logu równania x = 100, podstawa jest rozumiana jako 10 i możesz łatwo rozwiązać argument, x ponieważ odpowiada na pytanie "10 podniesionych do jakiej potęgi równa się 100?" Odpowiedź brzmi 2.
Logarytm jest odwrotnością wykładnika. Logarytm równania x = 100 to inny sposób napisania 10_x_ = 100. Ta zależność umożliwia usunięcie logarytmów z równania przez podniesienie obu stron do tego samego wykładnika co podstawa logarytmu. Jeśli równanie zawiera więcej niż jeden logarytm, muszą one mieć tę samą podstawę, aby to zadziałało.
Przykłady
W najprostszym przypadku logarytm nieznanej liczby równa się innej liczbie:
\log x = y
Podnieś obie strony do wykładników 10, a otrzymasz
10^ {\log x} = 10^y
Od 10(dziennik x) jest po prostu xrównanie staje się
x = 10^y
Gdy wszystkie wyrazy w równaniu są logarytmami, podniesienie obu stron do wykładnika daje standardowe wyrażenie algebraiczne. Na przykład podnieś
\log (x^2 - 1) = \log (x + 1)
do potęgi 10 i otrzymujesz:
x^2 - 1 = x + 1
co upraszcza do
x^2 - x - 2 = 0.
Rozwiązania są x = −2; x = 1.
W równaniach zawierających mieszankę logarytmów i innych terminów algebraicznych ważne jest, aby zebrać wszystkie logarytmy po jednej stronie równania. Następnie możesz dodawać lub odejmować terminy. Zgodnie z prawem logarytmów prawdziwe jest:
\log x + \log y = \log (xy) \\ \,\\ \log x - \log y = \log \bigg(\frac{x}{y}\bigg)
Oto procedura rozwiązywania równania z wyrażeniami mieszanymi:
Zacznij od równania: Na przykład
\log x = \log (x - 2) + 3
Zmień kolejność terminów:
\log x — \log (x — 2) = 3
Zastosuj prawo logarytmów:
\log \bigg(\frac{x}{x-2}\bigg) = 3
Podnieś obie strony do potęgi 10:
\bigg(\frac{x}{x-2}\bigg) = 10^3
Rozwiąż dla x:
\bigg(\frac{x}{x-2}\bigg) = 10^3 \\ x = 1000x - 2000 \\ -999x = -2000 \\ x = \frac{2000}{999}=2.002