Czym są liczby urojone?

Matematycy wymyślili liczby urojone, aby rozwiązać problemy algebry, które w inny sposób byłyby nierozwiązywalne. Kiedy podniesiesz liczbę urojoną do kwadratu, otrzymasz liczbę ujemną. Choć na początku mogą wydawać się nieco dziwne, liczby urojone mają wiele ważnych praktycznych zastosowań w matematyce, naukach ścisłych i inżynierii.

TL; DR (zbyt długi; Nie czytałem)

Kiedy podniesiesz liczbę urojoną do kwadratu, wynik jest liczbą ujemną.

Zazwyczaj w życiu codziennym masz do czynienia z liczbami rzeczywistymi – temperaturą na zewnątrz, odległością do domu przyjaciela lub liczbą groszy w słoiku na drobne. Liczby te reprezentują rzeczywiste obiekty i zjawiska. Oprócz liczb całkowitych, których używamy do liczenia, liczby rzeczywiste obejmują liczby zerowe i ujemne. Niektóre liczby są racjonalne; otrzymujesz je, dzieląc jedną liczbę całkowitą przez drugą. Inne liczby, takie jak Liczba Pi, mi, a pierwiastek kwadratowy z 2 są niewymierne. Nie istnieje dla nich stosunek liczb całkowitych. Może pomóc w przedstawieniu liczb rzeczywistych jako znaków na nieskończenie długiej linii, gdzie zero jest pośrodku.

Pod koniec XVI wieku matematycy odkryli istnienie liczb urojonych. Liczby urojone są potrzebne do rozwiązywania równań, takich jak x^2 + 1 = 0. Aby odróżnić liczby urojone od rzeczywistych, matematycy używają litery ja, zwykle kursywą, np. ja, 3i, 8,4i, gdzie ja to pierwiastek kwadratowy z -1 i liczba przed nim służy jako mnożnik. Na przykład 8,4i jest pierwiastkiem kwadratowym z -8,4. Niektóre dyscypliny techniczne, takie jak elektrotechnika, wolą używać litery jot zamiast ja. Nie tylko różnią się one od liczb rzeczywistych, ale również liczby urojone mają swoją własną „linię”.

W matematyce istnieje linia liczb urojonych, która jest bardzo podobna do linii liczb rzeczywistych. Dwie linie są ustawione pod kątem prostym do siebie, jak osie x i y wykresu. Przecinają się w zerowych punktach każdej linii. Te linie liczbowe pomagają zobrazować, jak działają liczby rzeczywiste i urojone.

Same rzeczywiste i urojone linie liczbowe, jak każda linia w geometrii, zajmują jeden wymiar i mają nieskończoną długość. Razem te dwie linie liczbowe tworzą to, co matematycy nazywają płaszczyzną liczb zespolonych – dwa wymiary opisujące dowolną liczbę, rzeczywistą, urojoną lub złożoną. Na przykład 72.15 to liczba rzeczywista, a -15i to liczba urojona. Dla tych dwóch liczb można znaleźć punkt na płaszczyźnie liczb zespolonych: 72.15, -15i. Zauważ, że ta liczba znajduje się na płaszczyźnie, a nie bezpośrednio na urojonych lub rzeczywistych liniach liczbowych. Jest jak San Francisco, które ma szerokość i długość geograficzną, ale nie znajduje się ani na równiku, ani na południku zerowym.

Liczby urojone i zespolone działają podobnie jak liczby rzeczywiste. Możesz je dodawać, odejmować, mnożyć i dzielić w dowolnej kombinacji. Przestrzegają normalnych zasad matematyki, ze zmarszczką, w której urojone liczby po podniesieniu do kwadratu dają negatywną odpowiedź.

Liczby urojone to przydatne narzędzia, które pomagają rozwiązywać trudne problemy matematyczne. W elektronice równania opisujące obwody prądu przemiennego wykorzystują matematykę liczb urojonych i zespolonych. Fizycy używają liczb zespolonych w kontaktach z falami elektromagnetycznymi, które łączą właściwości elektryczności i magnetyzmu. Mechanika kwantowa, czyli badanie cząstek subatomowych, również wykorzystuje liczby zespolone. W geometrii badanie kształtów fraktalnych, które wiją się i rozgałęziają w różnych kierunkach, obejmuje matematykę liczb zespolonych.