Jak rozwiązywać układy równań za pomocą wykresów

Układy równań mogą pomóc w rozwiązywaniu rzeczywistych pytań we wszystkich dziedzinach, od chemii przez biznes po sport. Rozwiązywanie ich jest ważne nie tylko dla twoich ocen z matematyki; może zaoszczędzić dużo czasu, niezależnie od tego, czy próbujesz wyznaczyć cele dla swojej firmy, czy drużyny sportowej.

TL; DR (zbyt długi; Nie czytałem)

Aby rozwiązać układ równań za pomocą wykresów, narysuj każdą linię na tej samej płaszczyźnie współrzędnych i zobacz, gdzie się przecinają.

Na przykład wyobraź sobie, że ty i twój przyjaciel ustawiacie stoisko z lemoniadą. Decydujesz się dzielić i podbijać, więc twój przyjaciel idzie na sąsiednie boisko do koszykówki, podczas gdy ty przebywasz na rogu ulicy swojej rodziny. Pod koniec dnia łączysz swoje pieniądze. Razem zarobiliście 200 dolarów, ale twój przyjaciel zarobił o 50 dolarów więcej niż ty. Ile pieniędzy każdy z was zarobił?

Albo pomyśl o koszykówce: Strzały wykonane poza linią za 3 punkty są warte 3 punkty, kosze wykonane wewnątrz linii za 3 punkty są warte 2 punkty, a rzuty wolne tylko 1 punkt. Twój przeciwnik ma 19 punktów przed tobą. Jakie kombinacje koszyków możesz wykonać, aby nadrobić zaległości?

Wykresy to jeden z najprostszych sposobów rozwiązywania układów równań. Wszystko, co musisz zrobić, to narysować obie linie na tej samej płaszczyźnie współrzędnych, a następnie zobaczyć, gdzie się przecinają.

Najpierw musisz napisać zadanie tekstowe jako układ równań. Przypisz zmienne do niewiadomych. Zadzwoń do pieniędzy, które zarabiaszTak, a pieniądze, które zarabia twój przyjacielfa​.

Teraz masz dwa rodzaje informacji: informacje o tym, ile razem zarobiłeś pieniędzy, oraz informacje o tym, jak zarobiłeś pieniądze w porównaniu z pieniędzmi zarobionymi przez twojego przyjaciela. Każdy z nich stanie się równaniem.

Dla pierwszego równania napisz:

Twoje pieniądze plus pieniądze znajomego dają łącznie 200 dolarów.

Następnie napisz równanie opisujące porównanie Twoich zarobków.

ponieważ kwota, którą zarobiłeś, jest równa o 50 dolarów mniej niż zarobił twój przyjaciel. Możesz również zapisać to równanie jakoTak​ + 50 = ​fa, ponieważ to, co zarobiłeś plus 50 dolarów, równa się temu, co zarobił twój przyjaciel. Są to różne sposoby pisania tego samego i nie zmienią ostatecznej odpowiedzi.

Tak więc układ równań wygląda tak:

Następnie musisz narysować oba równania na tej samej płaszczyźnie współrzędnych. Wykreśl swoją kwotę,Tak, natak-oś i kwota znajomego,fa, nax-axis (właściwie nie ma znaczenia, który jest który, o ile odpowiednio je oznaczysz). Możesz użyć papieru milimetrowego i ołówka, podręcznego kalkulatora graficznego lub kalkulatora graficznego online.

Obecnie jedno równanie jest w postaci standardowej, a drugie w postaci przecięcia nachylenia. Nie jest to koniecznie problem, ale dla zachowania spójności ustaw oba równania w formie przecięcia nachylenia.

Tak więc dla pierwszego równania przekształć z postaci standardowej na postać przecięcia nachylenia. Oznacza to rozwiązanie dlaTak; innymi słowy, zdobądźTakpo lewej stronie znaku równości. Więc odejmijfaz obu stron:

Pamiętaj, że w formie przecięcia nachylenia liczba przed F jest nachyleniem, a stała jest przecięciem y.

Aby wykreślić pierwsze równanie,Tak​ = −​fa+ 200, narysuj punkt (0, 200), a następnie użyj nachylenia, aby znaleźć więcej punktów. Nachylenie wynosi -1, więc zejdź w dół o jedną jednostkę i ponad jedną jednostkę i narysuj punkt. To tworzy punkt w (1, 199) i jeśli powtórzysz proces rozpoczynający się od tego punktu, otrzymasz kolejny punkt w (2, 198). Są to małe ruchy na dużej linii, więc narysuj jeszcze jeden punkt nax-przechwytywanie, aby upewnić się, że na dłuższą metę masz ładnie narysowane wykresy. GdybyTak= 0, tofabędzie 200, więc narysuj punkt na (200, 0).

Aby wykreślić drugie równanie,Tak​ = ​fa– 50, użyj przecięcia z y o wartości -50, aby narysować pierwszy punkt (0, -50). Ponieważ nachylenie wynosi 1, zacznij od (0, -50), a następnie idź w górę o jedną jednostkę i ponad jedną jednostkę. To daje ci (1, -49). Powtórz proces, zaczynając od (1, -49), a otrzymasz trzeci punkt (2, -48). Ponownie, aby upewnić się, że robisz wszystko porządnie na długich dystansach, sprawdź się jeszcze raz, rysując równieżx-przechwycić. GdyTak​ = 0, ​fabędzie 50, więc również narysuj punkt na (50, 0). Narysuj ładną linię łączącą te punkty.

Przyjrzyj się uważnie wykresowi, aby zobaczyć, gdzie przecinają się te dwie linie. To będzie rozwiązanie, ponieważ rozwiązaniem układu równań jest punkt (lub punkty), które sprawiają, że oba równania są prawdziwe. Na wykresie będzie to wyglądać jak punkt (lub punkty), w którym przecinają się dwie linie.

W tym przypadku dwie linie przecinają się w (125, 75). Więc rozwiązaniem jest to, że twój przyjaciel ( (x-coordinate) zarobił 125 USD, a ty ( (tak-współrzędna) zarobił 75 USD.

Szybkie sprawdzenie logiki: czy to ma sens? Razem te dwie wartości dodają 200, a 125 to 50 więcej niż 75. Brzmi dobrze.

W tym przypadku był dokładnie jeden punkt, w którym przecinały się dwie linie. Kiedy pracujesz z układami równań, są trzy możliwe wyniki, a każdy z nich będzie wyglądał inaczej na wykresie.

• Jeśli system ma jedno rozwiązanie, linie przecinają się w jednym punkcie, tak jak w przykładzie.
• Jeśli system nie ma rozwiązań, linie nigdy się nie przetną. Będą one równoległe, co w kategoriach algebraicznych oznacza, że ​​będą miały takie samo nachylenie.
• System może również mieć nieskończone rozwiązania, co oznacza, że ​​„dwie” linie są w rzeczywistości tą samą linią. Więc będą miały każdy punkt wspólny, co jest nieskończoną liczbą rozwiązań.