Liczba wymierna to dowolna liczba, którą można wyrazić jako ułamekp/qgdziepiqsą liczbami całkowitymi iqnie równa się 0. Aby odjąć dwie liczby wymierne, muszą mieć wspólny mianownik, a żeby to zrobić, musisz każdą z nich pomnożyć przez wspólny czynnik. To samo dotyczy odejmowania wyrażeń wymiernych, które są wielomianami. Sztuczka polegająca na odejmowaniu wielomianów polega na rozłożeniu ich na czynniki, aby uzyskać najprostszą formę przed nadaniem im wspólnego mianownika.
Odejmowanie liczb wymiernych
Ogólnie rzecz biorąc, możesz wyrazić jedną liczbę wymierną przezp/qi kolejny przezx/tak, gdzie wszystkie liczby są liczbami całkowitymi, a nietakaniqrówna się 0. Jeśli chcesz odjąć drugą od pierwszej, napisałbyś:
\frac{p}{q} - \frac{x}{y}
Teraz pomnóż pierwszy wyraz przeztak/tak(co jest równe 1, więc nie zmienia jego wartości) i pomnóż drugi wyraz przezq/q. Wyrażenie staje się teraz:
\frac{py}{qy} - \frac{qx}{qy}
które można uprościć do
\frac{py -qx}{qy}
Terminqynazywana jest najmniejszym wspólnym mianownikiem wyrażenia
\frac{p}{q} - \frac{x}{y}
Przykłady
1. Odejmij 1/4 od 1/3
Napisz wyrażenie odejmowania:
\frac{1}{3} — \frac{1}{4}
Teraz pomnóż pierwszy wyraz przez 4/4, a drugi przez 3/3, a następnie odejmij liczniki:
\frac{4}{12} - \frac{3}{12} = \frac{1}{12}
2. Odejmij 3/16 od 7/24
Odejmowanie to
\frac{7}{24} - \frac{3}{16}
Zauważ, że mianowniki mają wspólny dzielnik, 8. Możesz napisać takie wyrażenia:
\frac{7}{8 × 3} \text{ i } \frac{3}{8 × 2}
Ułatwia to odejmowanie. Ponieważ 8 jest wspólne dla obu wyrażeń, wystarczy pomnożyć pierwsze wyrażenie przez 2/2, a drugie wyrażenie przez 3/3.
\begin{aligned} \frac{7}{24} - \frac{ 3}{16} &= \frac{14 - 9}{48} \\ \,\\ &= \frac{5}{48} \end{wyrównany}
Zastosuj tę samą zasadę przy odejmowaniu wyrażeń wymiernych
Jeśli rozłożysz ułamki wielomianowe na czynniki, odejmowanie ich stanie się łatwiejsze. Nazywa się to redukcją do najniższych warunków. Czasami w liczniku i mianowniku jednego z wyrażeń ułamkowych można znaleźć wspólny czynnik, który anuluje i tworzy łatwiejszy w obsłudze ułamek. Na przykład:
\begin{aligned} \frac{x^2 - 2x - 8}{x^2 - 9x + 20} &= \frac{(x - 4) (x + 2)}{(x - 5) (x - 4)} \\ \,\\ &= \frac{x + 2}{x - 5} \end{wyrównany}
Przykład
Wykonaj następujące odejmowanie:
\frac{2x}{x^2 - 9} - \frac{1}{x + 3}
Zacznij od faktoringux2 - 9 do zdobycia (x + 3) (x −3).
Teraz pisz
\frac{2x}{(x + 3) (x - 3)} - \frac{1}{x + 3}
Najniższy wspólny mianownik to (x + 3) (x−3), więc wystarczy pomnożyć drugi wyraz przez (x − 3) / (x− 3) zdobyć
\frac{2x - (x - 3)}{(x + 3) (x - 3)}
które możesz uprościć do
\frac{x + 3}{x^2 - 9}