Dodatni wykładnik mówi, ile razy należy pomnożyć przez samą liczbę podstawową. Na przykład wykładniczy termintak3 jest taki sam jaktak × tak × tak, lubtakpomnożone przez siebie dwukrotnie. Gdy już zrozumiesz tę podstawową koncepcję, możesz zacząć dodawać dodatkowe warstwy, takie jak wykładniki ujemne, wykładniki ułamkowe, a nawet kombinację obu.
TL; DR (zbyt długi; Nie czytałem)
Ujemny, ułamkowy wykładniktak −m/nie można rozliczyć do formularza:
1 / (nie√tak)m
Faktoring sił ujemnych
Przed rozłożeniem ujemnych wykładników ułamkowych na czynniki, przyjrzyjmy się, jak ogólnie rozkładać ujemne wykładniki lub ogólnie ujemne potęgi. Wykładnik ujemny robi dokładnie odwrotność wykładnika dodatniego. Więc podczas gdy pozytywny wykładnik, taki jakza4 każe ci się pomnożyćzasamodzielnie trzy razy (więc w wyrażeniu są w sumie cztery), lubza × za × za × za,widzenie negatywnego wykładnika każe cipodzielićprzezzacztery razy: tak
a^{-4} = \frac{1}{a × a × a × a}
Lub, ujmując to bardziej formalnie:
x^{-y} = \frac{1}{x^y}
Faktoring wykładników ułamkowych
Następnym krokiem jest nauka rozkładania wykładników ułamkowych na czynniki. Zacznijmy od bardzo prostego wykładnika ułamkowego, takiego jakx1/tak. Kiedy widzisz taki wykładnik ułamkowy, oznacza to, że musisz wziąćtakth pierwiastek liczby podstawowej. Mówiąc bardziej formalnie:
x^{1/y} = \sqrt[y]{x}
Jeśli wydaje się to mylące, może pomóc kilka bardziej konkretnych przykładów:
y^{1/3} = \sqrt[3]{y} \\ b^{1/2 }= \sqrt{b}
(Pamiętaj, √xjest taki sam jak 2√x;ale to wyrażenie jest tak powszechne, że 2lub numer indeksu jest pominięty).
8^{1/3} = \sqrt[3]{8}= 2
Co się stanie, jeśli licznik wykładnika ułamkowego nie wynosi 1? Wtedy wartość tej liczby pozostaje wykładnikiem, stosowanym do całego terminu „root”. Formalnie oznacza to:
y^{m/n} = (\sqrt[n]{y})^m
Jako bardziej konkretny przykład rozważmy to:
a^{b/5} = (\sqrt[5]{a})^b
Łączenie wykładników ujemnych i ułamkowych
Jeśli chodzi o rozkładanie na czynniki ujemnych wykładników ułamkowych, można połączyć zdobytą wiedzę o rozkładaniu na czynniki wyrażeń z ujemnymi wykładnikami i tymi z wykładnikami ułamkowymi.
Zapamiętaj,
x^{-y} = \frac{1}{x^y}
niezależnie od tego, co jest wtakmiejsce;takmoże być nawet ułamkiem.
Więc jeśli masz ekspresjęx −za/b, to jest równe 1/(xza/b). Ale możesz uprościć krok dalej, stosując również to, co wiesz o wykładnikach ułamkowych, do terminu w mianowniku ułamka.
Zapamiętaj,
y^{m/n} = (\sqrt[n]{y})^m
lub, aby użyć zmiennych, z którymi już masz do czynienia,
x^{a/b} = (\sqrt[b]{x})^a
Idąc więc o krok dalej w upraszczaniux −za/b, ty masz
x^{-a/b} = \frac{1}{x^{a/b}} = \frac{1}{(\sqrt[b]{x})^a}
To tyle, ile możesz uprościć, nie wiedząc więcejx, blubza.Ale jeśli wiesz więcej o którymkolwiek z tych terminów, możesz jeszcze bardziej uprościć.
Kolejny przykład uproszczenia ułamkowych ujemnych wykładników
Aby to zilustrować, oto jeszcze jeden przykład z dodanymi nieco dodatkowymi informacjami:
Uproszczać
16^{-4/8}
Po pierwsze, czy zauważyłeś, że -4/8 można zredukować do -1/2? Więc masz 16 −1/2, który już wygląda o wiele przyjaźniej (a może nawet bardziej znajomo) niż oryginalny problem.
Upraszczając jak poprzednio, dotrzesz do
16^{-1/2} = \frac{1}{(\sqrt[2]{16})^1}
który jest zwykle pisany po prostu jako
\frac{1}{\sqrt{16}}
A ponieważ wiesz (lub możesz szybko obliczyć), że √16 = 4, możesz uprościć ten ostatni krok do:
16^{-4/8} = \frac{1}{4}