Rozkładanie wielomianów na czynniki pomaga matematykom określić zera lub rozwiązania funkcji. Te zera wskazują krytyczne zmiany w rosnących i malejących szybkościach i ogólnie upraszczają proces analizy. W przypadku wielomianów stopnia trzeciego lub wyższego, co oznacza, że najwyższy wykładnik zmiennej to liczba trzy lub większa, faktoring może stać się bardziej uciążliwy. W niektórych przypadkach metody grupowania skracają arytmetykę, ale w innych może być konieczne uzyskanie większej wiedzy o funkcji lub wielomianu, zanim będzie można kontynuować analizę.
Przeanalizuj wielomian, aby uwzględnić faktoryzację przez grupowanie. Jeśli wielomian jest w postaci, w której usunięcie największego wspólnego czynnika (GCF) z pierwsze dwa wyrazy i ostatnie dwa wyrazy ujawniają inny wspólny czynnik, możesz zastosować grupowanie metoda. Na przykład niech F(x) = x³ – x² – 4x + 4. Gdy usuniesz GCF z pierwszego i ostatniego wyrazu, otrzymasz: x²(x – 1) – 4 (x – 1). Teraz możesz wyciągnąć (x – 1) z każdej części, aby uzyskać (x² – 4) (x – 1). Stosując metodę „różnicy kwadratów” możesz przejść dalej: (x – 2) (x + 2) (x – 1). Gdy każdy czynnik jest w swojej pierwotnej lub niepodlegającej faktorowi formie, skończysz.
Poszukaj różnicy lub sumy kostek. Jeśli wielomian ma tylko dwa wyrazy, każdy z idealnym sześcianem, można go rozłożyć na czynniki na podstawie znanych wzorów sześciennych. Dla sum (x³ + y³) = (x + y) (x² – xy + y²). Dla różnic (x³ – y³) = (x – y) (x² + xy + y²). Na przykład niech G(x) = 8x³ – 125. Następnie faktoryzacja tego wielomianu trzeciego stopnia opiera się na różnicy sześcianów w następujący sposób: (2x – 5) (4x² + 10x + 25), gdzie 2x to pierwiastek sześcienny z 8x³, a 5 to pierwiastek sześcienny z 125. Ponieważ 4x² + 10x + 25 jest liczbą pierwszą, faktoring jest zakończony.
Sprawdź, czy istnieje GCF zawierający zmienną, która może zmniejszyć stopień wielomianu. Na przykład, jeśli H(x) = x³ – 4x, wyliczając GCF „x”, otrzymasz x (x² - 4). Następnie, używając techniki różnicy kwadratów, możesz dalej rozbić wielomian na x (x – 2) (x + 2).
Użyj znanych rozwiązań, aby zmniejszyć stopień wielomianu. Na przykład niech P(x) = x³ – 4x² – 7x + 10. Ponieważ nie ma GCF ani różnicy/sumy sześcianów, musisz użyć innych informacji do rozłożenia na czynniki wielomianu. Kiedy już dowiesz się, że P(c) = 0, wiesz, że (x – c) jest współczynnikiem P(x) opartym na „Twierdzeniu o czynnikach” algebry. Dlatego znajdź takie „c”. W tym przypadku P(5) = 0, więc (x – 5) musi być czynnikiem. Używając dzielenia syntetycznego lub długiego, otrzymujesz iloraz (x² + x – 2), który dzieli na (x – 1) (x + 2). Dlatego P(x) = (x – 5) (x – 1) (x + 2).