Równanie kwadratowe to takie, które zawiera pojedynczą zmienną i w którym zmienna jest podniesiona do kwadratu. Standardową postacią dla tego typu równania, które na wykresie zawsze tworzy parabolę, jesttopór2 + bx + do= 0, gdzieza, bidosą stałymi. Znalezienie rozwiązań nie jest tak proste, jak w przypadku równania liniowego, a częściowo z tego powodu, że z powodu kwadratu, zawsze są dwa rozwiązania. Możesz użyć jednej z trzech metod do rozwiązania równania kwadratowego. Możesz rozłożyć terminy na czynniki, co działa najlepiej z prostszymi równaniami, lub możesz uzupełnić kwadrat. Trzecią metodą jest użycie wzoru kwadratowego, który jest uogólnionym rozwiązaniem każdego równania kwadratowego.
Formuła kwadratowa
Dla ogólnego równania kwadratowego postacitopór2 + bx + do= 0, rozwiązania podaje wzór:
x = \frac{−b ±\sqrt{b^2 − 4ac} }{2a}
Zauważ, że znak ± w nawiasach oznacza, że zawsze istnieją dwa rozwiązania. Jedno z rozwiązań wykorzystuje
\frac{−b +\sqrt{b^2 − 4ac} }{2a}
i inne rozwiązanie wykorzystuje
\frac{−b -\sqrt{b^2 − 4ac} }{2a}
Korzystanie ze wzoru kwadratowego
Zanim będziesz mógł skorzystać ze wzoru kwadratowego, musisz upewnić się, że równanie ma standardową formę. Może nie być. Trochęx2 terminy mogą znajdować się po obu stronach równania, więc musisz zebrać te po prawej stronie. Zrób to samo ze wszystkimi terminami i stałymi x.
Przykład: Znajdź rozwiązania równania
3x^2 - 12 = 2x (x -1)
Rozwiń nawiasy:
3x^2 - 12 = 2x^2 - 2x
Odejmij 2x2 i z obu stron. Dodaj 2xna obie strony
3x^2 - 2x^2 + 2x - 12 = 2x^2 -2x^2 -2x + 2x \\ 3x^2 - 2x^2 + 2x - 12 = 0 \\ x^2 - 2x -12 = 0
To równanie ma standardową postaćtopór2 + bx + do= 0 gdzieza = 1, b= -2 ido = 12
Wzór kwadratowy to
x = \frac{−b ±\sqrt{b^2 − 4ac} }{2a}
Odza = 1, b= -2 ido= -12, to staje się
x = \frac{−(-2) ±\sqrt{(-2)^2 − 4×1×(-12)} }{2×1}
x = \frac{2 ±\sqrt{(4+ 48} }{2} \\ \,\\ x = \frac{2 ±\sqrt{52} }{2} \\ \,\\ x = \ frac{2 ±7,21}{2} \\ \,\\ x = \frac{9.21}{2} \text{ i } x = \frac{−5.21}{2} \\ \,\\ x = 4,605 \text{ i } x = −2.605
Dwa inne sposoby rozwiązywania równań kwadratowych
Równania kwadratowe można rozwiązywać przez faktoring. Aby to zrobić, mniej więcej zgadujesz parę liczb, które po zsumowaniu dają stałąba po pomnożeniu daje stałądo. Ta metoda może być trudna, gdy w grę wchodzą frakcje. i nie działałby dobrze w powyższym przykładzie.
Inną metodą jest wypełnienie kwadratu. Jeśli masz równanie to standardowa forma,topór2 + bx + do= 0, wstawdopo prawej stronie i dodaj termin (b/2)2 na obie strony. Pozwala to wyrazić lewą stronę jako (x + re)2, gdzierejest stałą. Następnie możesz wyciągnąć pierwiastek kwadratowy z obu stron i znaleźćx. Równanie z powyższego przykładu jest łatwiejsze do rozwiązania za pomocą wzoru kwadratowego.