Różnica między mechaniką klasyczną a mechaniką kwantową jest ogromna. Podczas gdy w mechanice klasycznej cząstki i obiekty mają jasno określone pozycje, w mechanice kwantowej (przed pomiarem) można tylko powiedzieć, że cząstka ma szereg możliwych pozycji, które są opisane w kategoriach prawdopodobieństw przez falę funkcjonować.
Równanie Schrodingera definiuje funkcję falową układów mechaniki kwantowej, a nauka jej używania i interpretacji jest ważną częścią każdego kursu mechaniki kwantowej. Jednym z najprostszych przykładów rozwiązania tego równania jest cząsteczka w pudełku.
Funkcja fali
W mechanice kwantowej cząstka jest reprezentowana przez afunkcja falowa. Jest to zwykle oznaczane grecką literą psi (Ψ) i zależy zarówno od pozycji, jak i czasu, i zawiera wszystko, co można wiedzieć o cząstce.
Moduł tej funkcji do kwadratu mówi o prawdopodobieństwie znalezienia cząstki w pozycjixo czasiet, pod warunkiem, że funkcja jest „znormalizowana”. Oznacza to po prostu dostosowane, aby na pewno można je znaleźć w
trochępozycjaxwtedytgdy wyniki w każdej lokalizacji są sumowane, czyli warunek normalizacji mówi, że:\int_{-\infty}^\infty \vertΨ\vert^2 = 1
Możesz użyć funkcji falowej do obliczenia oczekiwanej wartości pozycji cząstki w czasiet, gdzie wartość oczekiwana oznacza po prostu średnią wartość, jaką uzyskaszxjeśli powtórzyłeś pomiar wiele razy. Oczywiście nie oznacza to, że będzie to wynik, który uzyskasz dla dowolnego pomiaru – to znaczyefektywnielosowe, chociaż niektóre lokalizacje są zwykle znacznie bardziej prawdopodobne niż inne.
Istnieje wiele innych wielkości, dla których można obliczyć wartości oczekiwane, takie jak wartości pędu i energii, a także wiele innych „obserwabli”.
Równanie Schrödingera
Równanie Schrodingera jest równaniem różniczkowym, które służy do znajdowania wartości funkcji falowej i stanów własnych energii cząstki. Równanie można wyprowadzić z zasady zachowania energii i wyrażeń na energię kinetyczną i potencjalną cząstki. Najprostszy sposób na napisanie tego to:
H(Ψ) =iℏ\frac{\częściowyΨ}{\częściowy t}
Ale tuHreprezentujeOperator hamiltonowski, co samo w sobie jest dość długim wyrażeniem:
H = \frac{−ℏ}{2m} \frac{\partial^2}{\partial x^2} + V(x)
Tutaj,mito masa, ℏ to stała Plancka podzielona przez 2π, orazV (x) jest ogólną funkcją energii potencjalnej systemu. Hamiltonian ma dwie odrębne części – pierwszy człon to energia kinetyczna układu, a drugi człon to energia potencjalna.
Każda obserwowalna wartość w mechanice kwantowej jest powiązana z operatorem, aw niezależnej od czasu wersji równania Schrodingera hamiltonian jest operatorem energii. Jednak w przedstawionej powyżej wersji zależnej od czasu hamiltonian generuje również ewolucję funkcji falowej w czasie.
Łącząc wszystkie informacje zawarte w równaniu, możesz opisać ewolucję cząstki w przestrzeni i czasie oraz przewidzieć dla niej możliwe wartości energii.
Niezależne od czasu równanie Schrodingera
Zależną od czasu część równania można usunąć – aby opisać sytuację, która nie zmienia się wyraźnie z czasem – poprzez rozdzielenie funkcji falowej na części czasoprzestrzenne:Ψ(x, t) = Ψ(x) fa(t). Części zależne od czasu można następnie usunąć z równania, co pozostawia niezależną od czasu wersję równania Schrodingera:
H Ψ (x) = E (Ψ (x))
mito energia systemu. Ma to dokładną postać równania wartości własnej, gdzieΨ(x) jest funkcją własną, amibędąc wartością własną, dlatego równanie niezależne od czasu jest często nazywane równaniem wartości własnej dla energii układu mechaniki kwantowej. Funkcja czasu jest po prostu dana przez:
f (t) = e^{-iEt/ℏ}
Równanie niezależne od czasu jest przydatne, ponieważ upraszcza obliczenia w wielu sytuacjach, w których ewolucja w czasie nie jest szczególnie istotna. Jest to najbardziej użyteczna forma rozwiązywania problemów „cząstek w pudełku”, a nawet określania poziomów energii dla elektronów wokół atomu.
Cząstka w pudełku (nieskończona kwadratowa studnia)
Jednym z najprostszych rozwiązań niezależnego od czasu równania Schrodingera jest dla cząstki w nieskończenie głęboka studnia kwadratowa (tj. nieskończona studnia potencjału) lub jednowymiarowe pudełko o podstawie długośćL. Oczywiście są to teoretyczne idealizacje, ale dają podstawowe pojęcie o tym, jak rozwiązać równanie Schrodingera bez uwzględnienia wielu komplikacji występujących w przyrodzie.
Przy energii potencjalnej ustawionej na 0 poza studnią, gdzie gęstość prawdopodobieństwa również wynosi 0, równanie Schrodingera dla tej sytuacji wygląda następująco:
\frac{−ℏ^2}{2m} \frac{d^2Ψ(x)}{dx^2} = E Ψ(x)
A ogólne rozwiązanie równania tej postaci to:
Ψ(x) = A \sin (kx) + B \cos (kx)
Jednak spojrzenie na warunki brzegowe może pomóc to zawęzić. Dlax= 0 ix= L, czyli boki pudełka lub ścianki studni, funkcja falowa musi zejść do zera. Funkcja cosinus ma wartość 1, gdy argumentem jest 0, więc aby warunki brzegowe zostały spełnione, stałabmusi być równy zero. To pozostawia:
Ψ(x) = A \sin (kx)
Możesz również użyć warunków brzegowych, aby ustawić wartość dlak. Ponieważ funkcja sin dochodzi do zera przy wartościachnieπ, gdzie liczba kwantowanie= 0, 1, 2, 3… i tak dalej, to znaczy kiedyx = L, równanie zadziała tylko wtedy, gdyk = nieπ / L. Na koniec możesz wykorzystać fakt, że funkcja falowa musi zostać znormalizowana, aby znaleźć wartośćZA(zintegruj we wszystkich możliwych)xwartości, tj. od 0 doL, a następnie ustaw wynik równy 1 i ponownie uporządkuj), aby uzyskać końcowe wyrażenie:
Ψ(x) = \sqrt{\frac{2}{L}} \sin \bigg(\frac{nπ}{L}x\bigg)
Korzystając z oryginalnego równania i tego wyniku, możesz następnie rozwiązać:mi, co daje:
E = \frac{n^2ℎ^2}{8ml^2}
Zauważ, że fakt, żeniew tym wyrażeniu oznacza, że poziomy energetyczne sąskwantyzowany, więc nie mogą wziąćkażdywartość, ale tylko dyskretny zestaw określonych wartości poziomu energii w zależności od masy cząstki i długości pudełka.
Cząstka w pudełku (Skończona studnia kwadratowa)
Ten sam problem staje się nieco bardziej skomplikowany, jeśli studnia potencjalna ma skończoną wysokość ścian. Na przykład, jeśli potencjałV (x) przyjmuje wartośćV0 poza studnią potencjału i 0 wewnątrz niej, funkcję falową można określić w trzech głównych obszarach objętych problemem. Jest to jednak bardziej złożony proces, więc tutaj będziesz mógł zobaczyć tylko wyniki, a nie przejść przez cały proces.
Jeśli studnia jest wx= 0 dox = Lponownie dla regionu, w którymx< 0 rozwiązanie to:
Ψ(x) = Be^{kx}
Dla regionux > L, to jest:
Ψ(x) = Ae^{-kx}
Gdzie
k = \sqrt{\frac{2me}{ℏ^2}}
Dla regionu wewnątrz studni, gdzie 0 <x < L, ogólne rozwiązanie to:
Ψ(x) = C \sin (wx) + D\cos (wx)
Gdzie
w = \sqrt{\frac{-2m (E+V_0)}{ℏ^2}}
Następnie możesz użyć warunków brzegowych do określenia wartości stałychZA, b, doire, zauważając, że poza zdefiniowanymi wartościami na ściankach studni, funkcja falowa i jej pierwsza pochodna muszą być wszędzie ciągłe, a funkcja falowa musi być wszędzie skończona.
W innych przypadkach, takich jak płytkie pudełka, wąskie pudełka i wiele innych specyficznych sytuacji, można znaleźć przybliżenia i różne rozwiązania.