Iloczyn dwóch wielkości skalarnych jest skalarem, a iloczyn skalara z wektorem jest wektorem, ale co z iloczynem dwóch wektorów? Skalar czy inny wektor? Odpowiedź brzmi, może być albo!
Istnieją dwa sposoby na pobranie iloczynu wektorowego. Jednym z nich jest wzięcie ich iloczynu skalarnego, który daje skalar, a drugim jest wzięcie ich iloczynu krzyżowego, który daje inny wektor. To, który produkt jest używany, zależy od konkretnego scenariusza i ilości, którą próbujesz znaleźć.
Iloczyn krzyżowy dwóch wektorów daje trzeci wektor, który wskazuje kierunek prostopadły do płaszczyzna rozpięta przez dwa wektory, której wielkość zależy od względnej prostopadłości tych dwóch wektory.
Definicja iloczynu krzyżowego wektorów
Najpierw definiujemy iloczyn krzyżowy wektorów jednostkowychja, jotik(wektory o wielkości 1, które wskazują nax-, y-iz-kierunki składowe standardowego kartezjańskiego układu współrzędnych) w następujący sposób:
\bold{i\times j} = \bold{k}\\ \bold{j\times k} = \bold{i}\\ \bold{k\times i} = \bold{j}\\ \bold {i\times i} = \bold{j\times j} = \bold{k\times k} = 0
Zauważ, że te relacje są antyprzemienne, to znaczy, jeśli zmienimy kolejność wektorów, z których bierzemy iloczyn, odwraca to znak iloczynu:
\bold{j\times i} = -\bold{k} \\ \bold{k\times j} = -\bold{i} \\ \bold{i\times k} = -\bold{j}
Możemy użyć powyższych definicji, aby wyprowadzić wzór na iloczyn krzyżowy dwóch trójwymiarowych wektorów. Najpierw napisz wektoryzaibnastępująco:
\bold{a} = (a_x, a_y, a_z) = a_x\bold{i} + a_y\bold{j} + a_z\bold{k} \\ \bold{b} = (b_x, b_y, b_z) = b_x\bold{i} + b_y\bold{j} + b_z\bold{k}
Mnożąc dwa wektory otrzymujemy:
\bold{a\times b} = (a_x\bold{i} + a_y\bold{j} + a_z\bold{k}) \times (b_x\bold{i} + b_y\bold{j} + b_z\ pogrubienie{k}) \\ = a_xb_x\bold{i\times i} + a_xb_y\bold{i\times j} + a_xb_z\bold{i\times k} \\ + a_yb_x\bold{j\times i} + a_yb_y\bold{j\times j} + a_yb_z\bold{j\times k} \\ + a_zb_x\bold{k\ razy i} + a_zb_y\bold{k\times j} + a_zb_z\bold{k\times k}
Następnie, korzystając z powyższych relacji wektorów jednostkowych, upraszcza się to do:
\bold{a\times b} = a_xb_y\bold{i\times j} - a_xb_z\bold{k\times i} - a_yb_x\bold{i\times j} + a_yb_z\bold{j\times k} + a_zb_x \bold{k\times i} - a_zb_y\bold{j\times k}\\ = (a_xb_y - a_yb_x)\bold{i\times j} + (a_zb_x - a_xb_z)\bold{k\times i} + (a_yb_z - a_zb_y)\bold{j\times k}\\ = (a_yb_z - a_zb_y)\bold{ i} + (a_zb_x - a_xb_z)\bold{j} + (a_xb_y - a_yb_x)\pogrubienie{k}
(Zauważ, że terminy, których iloczyn krzyżowy wynosił 0, są terminami tworzącymi iloczyn skalarny (nazywany również iloczynem skalarnym)!To nie przypadek).
Innymi słowy:
\bold{a\times b} = \bold{c} = (c_x, c_y, c_z) \text{ gdzie} \\ c_x = a_yb_z - a_zb_y \\ c_y = a_zb_x - a_xb_z \\ c_z = a_xb_y - a_yb_x
Wielkość iloczynu krzyżowego można znaleźć za pomocą twierdzenia Pitagorasa.
Formuła iloczynu krzyżowego może być również wyrażona jako wyznacznik następującej macierzy:
\bold{a\times b} = \Bigg|\begin{matrix} \bold{i}&\bold{j}&\bold{k}\\ a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z\end {matryca}\Bigg| \\ = \Duża|\begin{macierz}a_y & a_z \\b_y & b_z\end{matrix}\Big|\bold{i} -\Big|\begin{matrix}a_x & a_z\\b_x & b_z\end{matrix}\Big|\bold{j} + \Big|\begin {matrix} a_x & a_y \\ b_x & b_y \end{matrix}\Big|\bold{k}
\text{Gdzie wyznacznik } \Big|\begin{macierz} a & b \\ c & d \end{macierz}\Big| = ad - bc
Innym, często bardzo wygodnym sformułowaniem produktu krzyżowego jest (patrz koniec tego artykułu dla wyprowadzenia):
\bold{a × b} = |\bold{a}| |\pogrubienie{b}| \sin (θ) \bold{n}
Gdzie:
- |za| jest wielkością (długością) wektoraza
- |b| jest wielkością (długością) wektorab
- θ jest kątem pomiędzy zai b
- niejest wektorem jednostkowym prostopadłym do płaszczyzny rozpiętej przez zaib
Wektory prostopadłe i reguła prawej ręki
W opisie iloczynu poprzecznego stwierdza się, że kierunek iloczynu poprzecznego jest prostopadły do płaszczyzny rozpiętej przez wektorzai wektorb. Ale to pozostawia dwie możliwości: To może wskazywaćpozasamolot lubwpłaszczyzna rozpięta przez te wektory. W rzeczywistości możemy tak naprawdę wybrać, o ile jesteśmy konsekwentni. Preferowany kierunek obrany zarówno przez matematyków, jak i naukowców, jest jednak określony przez coś, co nazywa sięreguła prawej ręki.
Aby określić kierunek iloczynu wektorowego za pomocą reguły prawej ręki, skieruj palec wskazujący prawej ręki w kierunku wektorazaa środkowy palec w kierunku wektorab. Twój kciuk wskazuje następnie w kierunku wektora iloczynu krzyżowego.
Czasami te kierunki są trudne do zobrazowania na płaskiej kartce papieru, dlatego często stosuje się następujące konwencje:
Aby wskazać wektor, który wchodzi na stronę, narysuj okrąg z X (pomyśl o tym jako reprezentującym pióra ogona na końcu strzałki, gdy patrzysz na niego od tyłu). Aby wskazać wektor wychodzący ze strony w przeciwnym kierunku, rysujemy okrąg z kropką (pomyśl o tym jako o czubku strzałki wskazującej na stronę).
•••nie
Właściwości produktu krzyżowego
Oto kilka właściwości iloczynu wektorowego:
\#\text{1. Jeżeli } \bold{a} \text{ i } \bold{b} \text{ są równoległe, to } \bold{a\times b} = 0
\#\text{2. }\bold{a\times b} = -\bold{b\times a}
\#\text{3. }\bold{a\times (b + c)} = \bold{a\times b} + \bold{a\times c}
\#\text{4. }(c\bold{a)\times b} = c(\bold{a\times b})
\#\text{5. }\bold{a\cdot (b\times c}) = \bold{(a\times b)\cdot c}
\text{Gdzie }\bold{a\cdot (b\times c}) =\Bigg|\begin{macierz} a_x & a_y & a_z \\b_x & b_y & b_z\\c_x & c_y & c_z\end{macierz }\Bigg|
Interpretacja geometryczna produktu krzyżowego
Kiedy iloczyn krzyżowy wektora jest sformułowany jako sin (θ), jego wielkość można interpretować jako reprezentującą obszar równoległoboku rozpięty przez dwa wektory. To dlatego, że dlaa × b, |b|sin (θ) = wysokość równoległoboku, jak pokazano, oraz |za| jest podstawą.
•••Dana Chen | Nauka
Wielkość iloczynu potrójnego wektoraa (b × c) można z kolei interpretować jako objętość równoległościanu rozpiętego przez wektoryza, bido. To dlatego, że(b × c) daje wektor, którego wielkość jest obszarem rozpiętym przez wektorbi wektordoi którego kierunek jest prostopadły do tego obszaru. Biorąc iloczyn skalarny wektorazaz tym wynikiem zasadniczo mnoży powierzchnię podstawy razy wysokość.
Przykłady
Przykład 1:Siła działająca na cząstkę ładunkuqporuszanie się z prędkościąvw polu magnetycznymbjest dany przez:
\bold{F} = q\bold{v\times B}
Załóżmy, że elektron przechodzi przez pole magnetyczne 0,005 T z prędkością 2×107 SM. Jeśli przechodzi przez pole prostopadle, to odczuje siłę:
\bold{F} = q\bold{v\times B} = qvB\sin(\theta)\bold{n} = (-1,602\times 10^{19})(2\times 10^7)(0,005 )\sin (90)\bold{n} =-1,602\times 10^{-14}\text{ N}\bold{n}
Jeśli jednak elektron porusza się równolegle do pola, to θ = 0, a sin (0) = 0, co daje siłę 0.
Zauważ, że dla elektronu przechodzącego prostopadle przez pole, siła ta spowoduje jego ruch po torze kołowym. Promień tej kołowej ścieżki można znaleźć, ustawiając siłę magnetyczną równą sile dośrodkowej i rozwiązując promieńr:
F_{mag} = qvB\sin (90) = qvB = \frac{mv^2}{r} = F_{cent}\\ \implikuje r = \frac{mv}{qB}
W powyższym przykładzie wstawienie liczb daje promień około 0,0227 m.
Przykład 2:Moment obrotowy wielkości fizycznej jest również obliczany przy użyciu iloczynu wektorowego. Jeśli siłafajest stosowany do obiektu w pozycjirod punktu obrotu moment obrotowyτo punkcie obrotu podaje wzór:
\bold{\tau} = \bold{r\times F}
Rozważmy sytuację, w której siła 7 N jest przyłożona pod kątem do końca pręta 0,75, którego drugi koniec jest przymocowany do sworznia. Kąt międzyrifawynosi 70 stopni, więc moment obrotowy można obliczyć:
\bold{\tau} = \bold{r\times F} = rF\sin(\theta) = (0,75)(7)\sin (70)\bold{n} = 4,93 \text{Nm }\bold{ n}
Kierunek momentu obrotowego,nie, znajduje się za pomocą reguły prawej ręki. W przypadku zastosowania do powyższego obrazu daje to kierunek wychodzenia ze strony lub ekranu. Ogólnie rzecz biorąc, moment obrotowy przyłożony do obiektu będzie chciał spowodować jego obrót. Wektor momentu obrotowego będzie zawsze leżał w tym samym kierunku co oś obrotu.
W rzeczywistości w tej sytuacji można zastosować uproszczoną regułę prawej ręki: prawą ręką „chwyć” oś obrotu w w taki sposób, aby palce zacisnęły się w kierunku, w którym skojarzony moment obrotowy będzie chciał spowodować obrót obiektu. Twój kciuk wskazuje wtedy w kierunku wektora momentu obrotowego.
Wyprowadzenie formuły krzyżowej produktu
\text{Tutaj pokażemy, jak równanie iloczynu krzyżowego } \bold{a × b} = |\bold{a}| |\pogrubienie{b}| \sin (θ) \bold{n} \text{ można wyprowadzić.}
Rozważ dwa wektoryzaibz kątemθmiędzy nimi. Trójkąt prostokątny można utworzyć, rysując linię z wierzchołka wektorazado prostopadłego punktu styku na wektorzeb.
Korzystając z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy następującą zależność:
\Big|\Big(\frac{\bold{a\cdot b}}{|\bold{b}|^2}\Big)\bold{b}\Big|^2 + (|\bold{a} |\sin(\theta))^2 = |\bold{a}|^2
\text{Gdzie }\Big(\frac{\bold{a\cdot b}}{|\bold{b}|^2}\Big)\bold{b} \text{ jest rzutem wektora } \bold {a} \text{ na wektor } \bold{b}.
Upraszczając nieco wyrażenie, otrzymujemy:
\frac{|\bold{a\cdot b}|^2}{|\bold{b}|^2} + |\bold{a}|^2\sin^2(\theta) = |\bold{ a}|^2
Następnie pomnóż obie strony równania przez |b|2 i przesuń pierwszy termin na prawą stronę, aby uzyskać:
|\bold{a}|^2|\bold{b}|^2\sin^2(\theta) = |\bold{a}|^2|\bold{b}|^2 - |\bold{ a\cdot b}|^2
Pracując z prawą stroną, pomnóż wszystko, a następnie uprość:
|\bold{a}|^2|\bold{b}|^2 - |\bold{a\cdot b}|^2 = [(a_x)^2 + (a_y)^2 + (a_z)^2 ][(b_x)^2 + (b_y)^2 + (b_z)^2]\\ - (a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z)(a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z) \\ = (a_xb_y)^2 + (a_xb_z)^ 2 + (a_yb_x)^2 + (a_yb_z)^2 + (a_zb_x)^2 + a_zb_y)^2 \\ - 2a_xa_yb_xb_y - 2a_xa_zb_xb_z - 2a_ya_zb_yb_z \\ = (a_zbyb_z_^_x) - a_2 (a_xb_y - a_yb_x)^2\\ = |\bold{a\times b}|^2
Ustalając wynik równy lewej stronie poprzedniego równania, otrzymujemy następującą zależność:
|\bold{a\times b}| = |\bold{a}||\bold{b}||\sin(\theta)|
To pokazuje nam, że moduły we wzorze są takie same, więc ostatnią rzeczą, jaką należy zrobić, aby udowodnić wzór, jest pokazanie, że kierunki są również takie same. Można to zrobić po prostu, biorąc iloczyny skalarnezaza × bibza × bi pokazując, że są 0, co oznacza, że kieruneka × b jest prostopadła do obu.